压强与浮力：判断液面升降和压强变化的那条链
题量 3 道
分量 上海中考压轴计算常考
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·液体压强 p = ρgh，这里的 h 是从液面到该点的深度，跟容器形状和液体总量都没关系。
·阿基米德原理 F浮 = ρ液 g V排。V排 是排开液体的体积，物体全部浸没时才等于物体体积。
·漂浮和悬浮时 F浮 = G物；下沉时 F浮 < G物，容器底还要承受物体的部分压力。
·判断液面和压强变化要按这条链走，体积怎么变 → 液面深度怎么变 → 压强怎么变。跳过中间一环去猜结论，是这类题失分最集中的地方。
·薄壁柱形容器里，液面上升的高度 Δh = ΔVS，S 是容器底面积。
例 1
基础
一块冰漂浮在盛水的杯子里。等冰全部熔化成水之后，杯中水面的高度是升高、降低还是不变？说明理由。
图 · 例 1
先想三分钟。冰漂着的时候，它排开了多少水？化成水之后，这些水又占多大体积？把这两个体积算出来比一比。
1
冰漂浮，所以 F浮 = G冰，即 ρ水 g V排 = m冰 g。
漂浮的唯一有用信息就是浮力等于重力。所有这类题都从这一句开始。
2
解得 V排 = m冰ρ水。
把「排开水的体积」用冰的质量表示出来，接下来才能跟熔化后的水作比较。
3
冰熔化成水，质量不变，m水 = m冰，所以这些水的体积 V水 = m冰ρ水。
熔化是状态变化，质量守恒。密度和体积都变了，质量这条线是唯一没断的。
4
两式相等，V水 = V排。熔化后的水正好填满冰原先排开的那块空间，水面不变。
把结论落回体积的比较上。这道题的全部内容就是这一个等式。
答案
水面高度不变。冰熔化成水后的体积，恰好等于冰漂浮时排开水的体积。
容易错在哪
凭「冰化了体积变小，所以水面下降」直接下结论。体积确实变小了，但变小的是冰那部分的体积，而露出水面的那一块本来就没占水的位置。判断液面必须比较熔化后的水体积和原先的排开体积，不能比冰的前后体积。
如果杯里装的是盐水，冰块（纯水冰）熔化后液面怎么变？（ρ盐水 > ρ水，由 V排 = m / ρ盐水 得排开体积更小，而熔化出的水体积仍是 m / ρ水，更大，所以液面升高。同一条链走一遍，换个密度结论就变，这就是为什么不能背结论。）
例 2
中档
薄壁柱形容器的底面积 S = 200 cm²，内装深 20 cm 的水。现将一个边长 10 cm、密度 0.6 × 10³ kg/m³ 的正方体木块轻轻放入水中。（g 取 10 N/kg）求：（1）木块静止后浸入水中的深度；（2）水对容器底部的压强增加了多少。
图 · 例 2
先想三分钟。木块密度比水小，静止后是什么状态？第二问别去算总压强再相减，直接算液面上升了多少更快。
先自己算，把结果填进来
浸入深度
容器底压强增加
写数值就行，单位可写可不写
1
ρ木 = 0.6 × 10³ kg/m³ < ρ水，木块漂浮，因此 F浮 = G木。
先判状态。漂浮、悬浮还是沉底，决定了下面用哪个等式，判错了后面全废。
2
设浸入深度为 h，由 ρ水 g · S木 h = ρ木 g · S木 · L（L = 10 cm 为棱长）约去 g 和底面积 S木，得 h = ρ木ρ水 L = 0.6 × 10 = 6 cm。
正方体上下都是平的，排开体积等于底面积乘浸入深度。两边的底面积能约掉，所以浸入深度只跟密度比有关，这个结论正方体题里反复用得上。
3
V排 = S木 h = 100 × 6 = 600 cm³。液面上升 Δh = V排S = 600200 = 3 cm。
木块挤进水里，等于往容器里多放了 600 cm³ 的东西，水只能往上让。注意分母是容器底面积 200，不是木块的 100。
4
Δp = ρ水 g Δh = 1000 × 10 × 0.03 = 300 Pa。
压强的变化只由深度的变化决定。代入前把 3 cm 换成 0.03 m，单位不统一是这一步最常见的错。
答案
（1）浸入深度 6 cm；（2）容器底压强增加 300 Pa。
容易错在哪
第二问用木块底面积算液面上升，得到 Δh = 6 cm。水是在整个容器里上升的，被挤开的体积摊在容器底面积上，分母永远是容器的 S。另一处是忘了检验水会不会溢出，本题水深 20 cm 加 3 cm 仍在容器内，写答案前扫一眼。
把容器底面积改成 120 cm²，其余不变，压强增加多少？（Δh = 600 / 120 = 5 cm，Δp = 500 Pa。容器越细，同样一块木头引起的压强变化越大。）
例 3
压轴
接上题（容器底面积 200 cm²，水深 20 cm，边长 10 cm、密度 0.6 × 10³ kg/m³ 的正方体木块已漂浮）。现用手将木块缓慢下压，直到它恰好完全浸没在水中（未接触容器底）。求：（1）此时手对木块的压力；（2）与木块漂浮时相比，水对容器底的压强又增加了多少。
图 · 例 3
先想三分钟。完全浸没之后 V排 就固定了。第二问问的是「又增加」，比较的是浸没状态和漂浮状态，不是和没放木块时比。
先自己算，把结果填进来
手对木块的压力
压强又增加
写数值就行，单位可写可不写
1
完全浸没时 V排 = V木 = 10³ cm³ = 1 × 10⁻³ m³，F浮 = ρ水 g V排 = 1000 × 10 × 10⁻³ = 10 N。
浸没是浮力的上限状态，排开体积等于物体体积，不用再讨论。
2
G木 = ρ木 g V木 = 0.6 × 10³ × 10 × 10⁻³ = 6 N。
重力从头到尾没变过，用密度和体积直接算。
3
木块静止，受浮力向上、重力向下、手的压力向下，三力平衡，F手 = F浮 − G木 = 10 − 6 = 4 N。
受力分析要把三个力都画出来再列式。缓慢下压意味着可以当作静止处理，加速度为零。
4
漂浮时 V排1 = 600 cm³，浸没时 V排2 = 1000 cm³，多排开 400 cm³。液面再上升 Δh = 400 / 200 = 2 cm。
问的是「又增加」，所以取两个状态排开体积的差。直接用 1000 去算会把漂浮时已经算过的那 300 Pa 重复计一次。
5
Δp = ρ水 g Δh = 1000 × 10 × 0.02 = 200 Pa。
还是那条链的最后一环。
答案
（1）手的压力 4 N；（2）压强又增加 200 Pa（相对未放木块时共增加 500 Pa）。
容易错在哪
第二问把「又增加」读成「一共增加」，用 1000 cm³ 算出 500 Pa 当答案。压轴题的问法常在这里做文章，动笔前先圈出「又」「共」「比……多」这类字眼。另一处是受力分析漏掉手的压力方向，写成 G + F手 = F浮 之外的组合。
如果继续下压直到木块刚好接触容器底但对底面无压力，手的压力还是 4 N 吗？（还是 4 N。只要完全浸没且不受容器底的支持力，浮力和重力都没变，手的压力就不变。继续往下按到木块压住容器底，容器底才开始提供支持力，手的压力才会随之减小。）
