二次函数与线段最值：动点问题的三种常见问法
题量 3 道
分量 上海中考 24 / 25 题高频
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怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·顶点式 y = a(x − h)² + k 的顶点是 (h, k)。a < 0 开口向下，顶点处取最大值；a > 0 开口向上，顶点处取最小值。
·一般式 y = ax² + bx + c 的顶点横坐标是 x = −b / (2a)，配方和这个公式算出来必须一致，对不上就是配方错了。
·抛物线上的动点可以设成 (x, ax² + bx + c)，这样整道题只剩一个自变量。这一步是所有动点最值题的起手式。
·三角形有一边不平行于坐标轴时，面积用铅垂高 × 水平宽 ÷ 2。铅垂高是那条竖直线段，水平宽是另外两点横坐标之差的绝对值。
例 1
基础
已知抛物线 y = −x² + 4x。点 P 在这条抛物线上，横坐标为 x（0 < x < 4），过 P 作 PQ ⊥ x 轴，垂足为 Q。求线段 PQ 长度的最大值。
图 · 例 1
先想三分钟。先把 P 的坐标写出来。PQ 是竖直线段，它的长度跟 P 的哪个坐标有关？
先自己算，把结果填进来
PQ 最大值
此时 x
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
设 P(x, −x² + 4x)。
点在抛物线上，纵坐标就由横坐标决定，两个未知量立刻变成一个。
2
PQ ⊥ x 轴，所以 PQ 的长度等于 P 到 x 轴的距离，即 |yP|。当 0 < x < 4 时 −x² + 4x > 0，去掉绝对值得 PQ = −x² + 4x。
竖直线段的长度是两端纵坐标之差。这里下端在 x 轴上，纵坐标为 0，所以直接就是 P 的纵坐标。先确认这段范围里 y 是正的，绝对值才能安全去掉。
3
配方得 PQ = −(x² − 4x) = −(x − 2)² + 4。
配成顶点式，最值和取值点一眼就看出来，比套公式再回代少一步出错机会。
4
二次项系数是 −1 < 0，开口向下，在 x = 2 处取最大值 4。x = 2 落在 0 < x < 4 内。
顶点在不在给定范围里必须检验。落在范围外的话，最值就要取在端点上，答案完全不同。
答案
PQ 的最大值是 4，此时 x = 2，即 P(2, 4)。
容易错在哪
两处。一是把 PQ 写成 y 却不管正负，题目范围若含 y < 0 的部分就会算错；二是配完方直接写答案，不检验 x = 2 在不在题目给的范围里。这两步在压轴题里都是踩分点。
把范围改成 3 ≤ x < 4，PQ 的最大值是多少？（顶点 x = 2 已经不在范围里，函数在这段上单调递减，最大值在左端点 x = 3 处取到，等于 3。这就是上面说的检验为什么不能省。）
例 2
中档
抛物线 y = −x² + 2x + 3 与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C。点 P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过 P 作 PD ⊥ x 轴，交直线 BC 于点 D。求线段 PD 长度的最大值。
图 · 例 2
先想三分钟。PD 是一条竖直线段，两个端点的横坐标相同。想拿到它的长度，还缺直线 BC 的解析式。
先自己算，把结果填进来
PD 最大值
此时 x
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
令 x = 0 得 C(0, 3)。设直线 BC 为 y = kx + b，代入 B(3, 0) 和 C(0, 3) 解得 y = −x + 3。
D 在直线 BC 上，不先求出这条直线就写不出 D 的纵坐标。
2
设 P(x, −x² + 2x + 3)，则 D(x, −x + 3)，其中 0 < x < 3。
PD 垂直于 x 轴，说明 D 和 P 横坐标相同，把这个 x 代进直线解析式就得到 D。P 在第一象限的抛物线上，横坐标范围就是 0 到 3。
3
PD = yP − yD = (−x² + 2x + 3) − (−x + 3) = −x² + 3x。
这一段里抛物线在直线上方，所以是 P 减 D。顺序反了会得到负数，是这道题最常见的低级错误。
4
配方得 PD = −(x − 32)² + 94。顶点 x = 32 在 0 < x < 3 内。
老套路，配方加检验范围。这里顶点正好在区间中点，因为 PD 的表达式恰好是两个交点横坐标 0 和 3 的中点位置取到最大。
答案
PD 的最大值是 94，此时 x = 32。
容易错在哪
把 PD 写成 yD − yP。判断谁减谁要看这一段里哪条图像在上方，不确定就随手代一个 x（比如 x = 1）算一下两个纵坐标，几秒钟的事。
把 P 的范围改到第二象限（−1 < x < 0），PD 还能取到最大值吗？（这段里 −x² + 3x < 0，说明抛物线在直线下方，PD 要写成 x² − 3x，函数单调递减，最大值在左端点附近，取不到。这道变式练的就是「谁减谁」。）
例 3
压轴
条件同上题，抛物线 y = −x² + 2x + 3，B(3, 0)，C(0, 3)，P 是第一象限抛物线上的动点。求 △PBC 面积的最大值，并求出此时点 P 的坐标。
图 · 例 3
先想三分钟。BC 是斜的，底和高都不好直接量。上一题刚求过的 PD 在这里能派上用场。
先自己算，把结果填进来
面积最大值
此时 P 的横坐标
此时 P 的纵坐标
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
过 P 作 PD ⊥ x 轴交 BC 于 D，用 PD 把 △PBC 拆成 △PDC 和 △PDB。
BC 不平行于坐标轴，直接算底和高要用点到直线距离，初中范围内绕。拆成两个共底 PD 的三角形，高就变成两段水平距离。
2
两个三角形以 PD 为公共底，对应的高分别是 xP − xC 和 xB − xP，加起来正好是 xB − xC = 3。所以 S = 12 · PD · 3。
这就是铅垂高 × 水平宽 ÷ 2。水平宽只跟 B、C 两点有关，是个定值 3，跟 P 在哪儿无关。到这一步，求面积最大就变成了求 PD 最大。
3
由上题 PD = −x² + 3x，代入得 S = 32(−x² + 3x) = −32(x − 32)² + 278。
系数是正的常数，不影响取最大值的位置，所以最大点还是 x = 3/2。看懂这一点，这类题就不用重新配方了。
4
x = 32 时，yP = −(32)² + 2 · 32 + 3 = 154。
题目要坐标，算完面积别忘了回代求纵坐标。只写面积不写点的坐标，这一问要扣分。
答案
△PBC 面积的最大值是 278，此时 P(32, 154)。
容易错在哪
水平宽算成 |xP − xB| 或别的组合。水平宽永远是那条斜边两个端点的横坐标之差，跟动点无关，认准这一点这类题就不会绕进去。另一处是求完最大面积忘了回代求 P 的坐标。
同样这条抛物线，把 C 换成 A(−1, 0)，求 △PAB 面积的最大值。（AB 在 x 轴上，底 = 4 是定值，高就是 yP，最大值在抛物线顶点 (1, 4) 处取到，S = 8。底平行于坐标轴时根本不用铅垂高，先看清楚再选方法。）
讲完了，测一测
二次函数
12 题
→
二次函数 12 道，顶点式、交点、动点最值都在里面
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
