一元二次方程：四种解法、判别式与韦达定理
题量 3 道
分量 上海中考 21 题前后常考，也是二次函数题的计算底子
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·四种解法各有各的适用场合。缺一次项用直接开平方，能十字相乘就因式分解，二次项系数是 1 且一次项系数是偶数配方最快，实在看不出来才上公式法 x = −b ± √(b² − 4ac)2a。上海卷的计算题八成能因式分解，先花十秒试十字相乘，试不出来再套公式。
·判别式 Δ = b² − 4ac 管的是根的个数。Δ > 0 两个不相等的实数根，Δ = 0 两个相等的实数根，Δ < 0 没有实数根。题目说「有两个不相等的实数根」就是 Δ > 0，说「有实数根」是 Δ ≥ 0，两种说法差一个等号，答案的区间端点跟着差一个点。
·韦达定理把两根的和与积直接写出来，x₁ + x₂ = −ba，x₁ · x₂ = ca。求 x₁² + x₂² 和 1x₁ + 1x₂ 这类式子不用把根解出来，配方成和与积就行，x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂。
例 1
基础
解方程 2x² − 7x + 3 = 0。
先想三分钟。先算 Δ 心里有个数，再试十字相乘。二次项系数不是 1，十字相乘要把 2 拆成 1 × 2，试两种搭配。
先自己算，把结果填进来
x₁（较大的根）
x₂（较小的根）
两个根分开填，分数写成 1/2 这样
1
a = 2，b = −7，c = 3，Δ = (−7)² − 4 × 2 × 3 = 49 − 24 = 25。
先算判别式有两个好处。一是知道有两个不相等的实数根，二是 25 是完全平方数，说明这题一定能因式分解，可以放心去试十字相乘。
2
十字相乘。左列拆 2 = 1 × 2，右列拆 3 = (−1) × (−3)，交叉相乘得 1 × (−3) + 2 × (−1) = −5，不是 −7，换一种搭配 1 × (−1) + 2 × (−3) = −7，对上了。
常数项是正的、一次项是负的，两个因数同为负。拆法只有两种搭配，试错成本很低，比直接套公式快。
3
写成 (x − 3)(2x − 1) = 0，所以 x − 3 = 0 或 2x − 1 = 0。
两个数相乘等于零，至少有一个是零。这一步要把两个因式都单独列出来，跳过去直接写答案，考试要扣步骤分。
4
解得 x₁ = 3，x₂ = 12。
代回原方程验一遍，x = 3 时 18 − 21 + 3 = 0，x = 12 时 12 − 72 + 3 = 0，两个都对。
答案
x₁ = 3，x₂ = 12。
容易错在哪
十字相乘写出 (x − 3)(2x − 1) 之后，第二个根容易顺手写成 1。2x − 1 = 0 解出来是 12，二次项系数不是 1 的时候这一步最容易丢分。另外两个根要写成 x₁、x₂ 的形式，写成 x = 3 一个数会被判漏解。
解方程 3x² + 5x − 2 = 0。（Δ = 25 + 24 = 49，十字相乘得 (3x − 1)(x + 2) = 0，x₁ = 13，x₂ = −2。同样注意第一个根不是 1。）
例 2
中档
已知关于 x 的方程 x² − 2x + m = 0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围。
先想三分钟。「两个不相等的实数根」翻译成 Δ > 0。列出不等式之后注意除以负数要变号。
先自己算，把结果填进来
m 的取值范围
范围写成 m<1 这样
1
a = 1，b = −2，c = m，Δ = (−2)² − 4 × 1 × m = 4 − 4m。
把 m 当成普通的 c 代进判别式就行。这里 a = 1 已经确定不为零，不用再讨论方程是不是二次的。
2
两个不相等的实数根，所以 Δ > 0，即 4 − 4m > 0。
这一句是整道题的翻译动作。三种说法对应三个符号，「不相等」配 >，「相等」配 =，「有实数根」把两种都包含进去配 ≥。
3
移项得 −4m > −4，两边同除以 −4，不等号变向，m < 1。
同除负数变号是这道题唯一的坑。想不清就换个走法，把 4m 移到右边写成 4 > 4m，再两边除以正的 4 得 1 > m，不用变号。
答案
m < 1。
容易错在哪
式子全对，最后一步除以 −4 忘了变号，写成 m > 1。怕变号出错就用上面那个绕开的走法。还有一种情况要留心，题目如果写的是「关于 x 的方程 kx² − 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根」，那就要先写 k ≠ 0，再算 Δ > 0，两个条件取交集。
若关于 x 的方程 x² + 4x + k = 0 有两个相等的实数根，求 k 的值。（Δ = 16 − 4k = 0，解得 k = 4。这次是等号，答案是一个数不是一个范围。）
例 3
压轴
已知 x₁、x₂ 是方程 x² − 5x + 3 = 0 的两个根，求 x₁² + x₂² 和 1x₁ + 1x₂ 的值。
先想三分钟。别去解这个方程，它的根带根号，算下去很脏。用韦达定理拿到两根的和与积，再把要求的式子配成和与积。
先自己算，把结果填进来
x₁² + x₂²
1/x₁ + 1/x₂
分数写成 5/3 这样
1
由韦达定理，x₁ + x₂ = −ba = 5，x₁ · x₂ = ca = 3。
先确认这个方程真的有两个实数根，Δ = 25 − 12 = 13 > 0，韦达定理才能用。这一步在压轴题里偶尔会单独设问，平时就养成习惯。
2
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 5² − 2 × 3 = 25 − 6 = 19。
完全平方公式展开是 (x₁ + x₂)² = x₁² + 2x₁x₂ + x₂²，把中间那项减掉就剩平方和。这个变形要记熟，韦达定理的题一大半都用它。
3
1x₁ + 1x₂ = x₁ + x₂x₁x₂ = 53。
两个分数通分，分子正好是两根之和，分母正好是两根之积。倒数和这类式子的通法就是先通分，通分之后和与积自然出现。
答案
x₁² + x₂² = 19，1x₁ + 1x₂ = 53。
容易错在哪
两处高频错误。一是把 x₁ + x₂ 的符号写反，公式是 −ba，这题 b = −5，负负得正是 5 不是 −5。二是变形公式记成 (x₁ + x₂)² − x₁x₂，漏掉那个 2，答案就成了 22。
同一个方程，求 (x₁ − x₂)² 的值。（(x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 25 − 12 = 13，正好等于 Δ。这不是巧合，(x₁ − x₂)² 恒等于 Δa²。）
讲完了，测一测
代数与方程
8 题
→
代数与方程 8 道，一元二次方程之外还有分式方程和不等式组
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
