二次根式：有意义的条件、带字母化简与分母有理化
题量 3 道
分量 上海中考选择填空的常客，也是解方程和三角比的计算底子
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·二次根式 √a 有意义的条件是 a ≥ 0。放在分母上还要求不等于零，条件收紧成 a > 0。求取值范围的题就是把根号里的、分母上的条件各写一条，再取交集。
·√(a²) = |a|，不是 a。带字母化简必须先判断这个字母是正是负，正的直接去掉绝对值，负的要添负号。这一条是二次根式里最容易被忽略的地方，题干给的 x < 2 一类条件就是为它准备的。
·最简二次根式要满足两条，根号里不含能开得尽方的因数，分母里不含根号。化简的固定动作是先把根号里的数分解出完全平方因数提到外面，再看分母有没有根号，有就乘一个合适的式子把它有理化。
例 1
基础
求下列各式中字母的取值范围。
（1）√(3 − 2x) （2）√(x + 1)x − 2
（1）√(3 − 2x) （2）√(x + 1)x − 2
先想三分钟。根号里的部分要大于等于零，分母不能等于零。第二小题两个条件都要写，最后取交集。
先自己算，把结果填进来
第（1）题的范围
第（2）题根号给出的条件
第（2）题分母给出的条件
范围写成 x≤3/2 这样，不等号用 ≤ ≥ ≠
1
第（1）题，根号里要非负，3 − 2x ≥ 0。
被开方数不能是负数，这是二次根式有意义的唯一条件。这一小题分母上没有根号，只需要这一条。
2
解得 −2x ≥ −3，两边同除以 −2，不等号变向，x ≤ 32。
同除负数变号。也可以移项成 3 ≥ 2x 再除以正的 2，得到 32 ≥ x，绕开变号这一步。
3
第（2）题，根号里要非负，x + 1 ≥ 0，即 x ≥ −1；分母不能为零，x − 2 ≠ 0，即 x ≠ 2。
两个位置各管一个条件，根号管非负，分母管非零。这里的分母是 x − 2 而不是根号，所以不用把它也压成大于零。
4
取交集，x ≥ −1 且 x ≠ 2。
两个条件要同时成立。写答案时两条都要出现，只写 x ≥ −1 会被判漏条件。
答案
（1）x ≤ 32；（2）x ≥ −1 且 x ≠ 2。
容易错在哪
第（1）题除以负数忘记变号，写成 x ≥ 32。第（2）题只写根号的条件、漏掉分母不为零。还有一种情况要分清，如果分母本身带根号写成 1√(x − 2)，那条件就从 x ≥ 2 收紧成 x > 2。
求 1√(5 − x) 中 x 的取值范围。（根号在分母上，非负和非零两个条件合成一个，5 − x > 0，得 x < 5。）
例 2
中档
化简 √((x − 2)²)，其中 x < 2。
先想三分钟。先套 √(a²) = |a|，再看 x − 2 是正是负来去绝对值。题干给的 x < 2 就是为这一步准备的。
先自己算，把结果填进来
化简结果
写成 2-x 这样
1
√((x − 2)²) = |x − 2|。
开平方再平方回来得到的是绝对值，不是原式。这一步直接写成 x − 2 就丢了这道题的全部考点。
2
由 x < 2 得 x − 2 < 0。
把题干条件翻译成对 x − 2 这个整体的判断。绝对值里面是负数，去绝对值时要添负号。
3
所以 |x − 2| = −(x − 2) = 2 − x。
负数的绝对值等于它的相反数。写成 2 − x 更顺眼，也更容易看出这个结果确实是正的，和绝对值的性质对得上。
答案
2 − x。
容易错在哪
直接写成 x − 2 是最常见的错，等于没看条件。另一种是知道要加负号但写成 −x − 2，负号要套住整个括号，−(x − 2) 展开是 −x + 2。检验的办法很简单，随便代一个满足 x < 2 的数，比如 x = 0，原式是 √4 = 2，2 − x = 2 对上了。
化简 √(a²) − √((a − 1)²)，其中 0 < a < 1。（a > 0 所以 √(a²) = a；a − 1 < 0 所以 √((a − 1)²) = 1 − a。原式 = a − (1 − a) = 2a − 1。两个根号各判各的符号。）
例 3
压轴
计算 2√3 − 1 + √12 − √27。
先想三分钟。三项各有各的动作。第一项分母有根号要有理化，后两项根号里有完全平方因数要提出来。全部化成最简之后再合并同类二次根式。
先自己算，把结果填进来
计算结果
写最简形式
1
第一项分母有理化。分母是 √3 − 1，乘它的共轭式 √3 + 1，2√3 − 1 = 2(√3 + 1)(√3 − 1)(√3 + 1) = 2(√3 + 1)3 − 1 = √3 + 1。
分母是两项、其中带根号时，乘共轭式让分母用上平方差公式变成有理数。(√3 − 1)(√3 + 1) = 3 − 1 = 2，正好和分子的 2 约掉。
2
√12 = √(4 × 3) = 2√3。
把根号里的数拆成完全平方数乘剩下的部分，完全平方那块开出来提到根号外。12 里最大的完全平方因数是 4。
3
√27 = √(9 × 3) = 3√3。
同样的动作，27 里的完全平方因数是 9。化到这里三项的根号部分都变成了 √3，可以合并了。
4
原式 = (√3 + 1) + 2√3 − 3√3 = (1 + 2 − 3)√3 + 1 = 1。
同类二次根式合并的时候只把系数相加减，根号部分不动，做法和合并同类项一样。这里 √3 的系数正好抵消，只剩常数 1。
答案
1。
容易错在哪
有理化时只给分子乘、忘了分母也要乘，或者共轭式的符号写错乘成 √3 − 1 本身。合并时把 √3 的系数和常数项混在一起加，也是常见错误，√3 和 1 不是同类项，不能相加。算完可以估一下，√3 ≈ 1.73，原式约等于 2.73 + 3.46 − 5.20 ≈ 0.99，和 1 对得上。
计算 1√5 + 2 + √20。（有理化得 √5 − 25 − 4 = √5 − 2，√20 = 2√5，原式 = 3√5 − 2。这次系数没抵消，根号项要留着。）
讲完了，测一测
二次根式
8 题
→
这一节的 8 道题，从有意义条件排到分母有理化
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
