锐角三角比：定义、测高应用与作高转化
题量 3 道
分量 上海中考 22 题几乎年年考测高或测距的应用题
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·四个三角比都以锐角为准来分对边邻边。sin A = 对边斜边，cos A = 邻边斜边，tan A = 对边邻边，cot A = 邻边对边。哪条是对边取决于盯着哪个角，换个角看同一条边就从对边变成邻边，做题时先在图上把那个角圈出来。
·三个特殊角的值考前默写一遍。sin 30° = 12，sin 45° = √22，sin 60° = √32，余弦倒过来排，正切是 √33、1、√3。tan 30° 和 tan 60° 记反是上海卷最常见的失分点之一。
·仰角是视线与水平线的夹角，不是视线与竖直物体的夹角。测高题里人或仪器本身有高度，算完塔顶到水平视线那一段还要把仪器高加回去。坡度 i 写成 1 : 2 这种形式，指的是铅垂高比水平宽，等于坡角的正切值。
例 1
基础
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3。求 sin A、cos A 和 tan A。
先想三分钟。先用勾股定理把第三条边补齐，再对着 ∠A 分清楚谁是对边谁是邻边。∠C 是直角，所以 AB 是斜边。
先自己算，把结果填进来
sin A
cos A
tan A
分数写成 3/5 这样
1
∠C = 90°，所以 AB 是斜边。由勾股定理，AC = √(AB² − BC²) = √(25 − 9) = 4。
直角所对的那条边才是斜边。看到 3 和 5 要反应过来这是 3-4-5，第三边是 4，不用真去开方。
2
盯住 ∠A。BC 在 ∠A 的对面，是对边；AC 挨着 ∠A，是邻边；AB 是斜边。
这一步是整道题的关键。对边邻边跟着角走，换成 ∠B 来看，BC 就变成邻边了。做题时先把角标出来再套公式。
3
sin A = BCAB = 35，cos A = ACAB = 45，tan A = BCAC = 34。
正弦余弦的分母都是斜边，正切的分母是邻边。算完可以拿 sin²A + cos²A = 1 验一下，925 + 1625 = 1，对上了。
答案
sin A = 35，cos A = 45，tan A = 34。
容易错在哪
最常见的是把 sin A 和 cos A 写反，根子在没分清对边邻边。另一个坑是斜边找错，直角在哪里斜边就在它对面，题目把直角标在 ∠B 时斜边就是 AC，不能一律拿最长的字母组合当斜边。
同一个三角形，求 sin B 和 tan B。（对 ∠B 来说 AC 是对边、BC 是邻边，sin B = 45，tan B = 43。可以看到 sin B = cos A，两个锐角互余时正弦余弦互换。）
例 2
中档
小明在离旗杆底部 20 米的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60°，测角仪高 1.5 米。求旗杆的高度（√3 ≈ 1.73，结果精确到 0.1 米）。
先想三分钟。先画图，把测角仪的高度单独画成一小段。仰角所在的直角三角形上边是从视线高度算起的，不是从地面算起。
先自己算，把结果填进来
旗杆高度（米）
写数值就行，单位可写可不写
1
设旗杆为 AB，测角仪在 D 处，视线水平线交旗杆于 E。DE = 20，BE = 1.5，∠ADE = 60°。
把图分成两截，上面一截 AE 靠三角比算，下面一截 BE 就是仪器高。不画图直接算，十有八九会把 1.5 米忘掉。
2
在 Rt△ADE 中，tan 60° = AEDE，所以 AE = DE · tan 60° = 20 × √3 ≈ 20 × 1.73 = 34.6。
已知邻边 DE、要求对边 AE，用正切。tan 60° = √3 而不是 √33，记反的话答案会小成三分之一。
3
AB = AE + BE = 34.6 + 1.5 = 36.1（米）。
最后这一步是这类题真正的考点。算出 34.6 就交卷，丢的就是那 1 分。题目给了仪器高度，就是等着你加回去。
答案
旗杆高约 36.1 米。
容易错在哪
两个坑。一是把仰角当成视线与旗杆的夹角，那样就该用 cot 或者拿 30° 去算。仰角永远是抬头的视线与水平线的夹角。二是漏加测角仪的高度，凡是题干里出现了仪器高、人眼高、楼顶到眼睛的高度，最后一步必然要加回去。
如果仰角改成 45°，其余条件不变，旗杆有多高。（AE = 20 × tan 45° = 20，AB = 20 + 1.5 = 21.5 米。tan 45° = 1，这时对边和邻边一样长。）
例 3
压轴
在 △ABC 中，∠B = 45°，∠C = 30°，AB = 6√2。求 BC 的长。
先想三分钟。这不是直角三角形，三角比用不上。从 A 向 BC 作高，把它劈成两个直角三角形，那条高是两边共用的桥。
先自己算，把结果填进来
BC
写精确值，根号写成 √3 或者根号3 都行
1
过 A 作 AD ⊥ BC 于 D，把 △ABC 分成 Rt△ABD 和 Rt△ACD。
非直角三角形求边长，通法就是作高转化。高要作在两个已知角之间的那条边上，这样两个直角三角形各含一个已知角。
2
在 Rt△ABD 中，∠B = 45°，AD = AB · sin 45° = 6√2 × √22 = 6，BD = AB · cos 45° = 6。
45° 的直角三角形两条直角边相等，算出 AD = BD = 6 正好印证。6√2 × √22 要算成 6 × 22 = 6，别把 √2 × √2 算成 2√2。
3
在 Rt△ACD 中，∠C = 30°，DC = ADtan 30° = 6√33 = 6√3。
AD 是这两个直角三角形共用的边，它就是把左右两半连起来的那个量。已知对边求邻边，可以用 tan 作除法，也可以直接用 cot 30° = √3 作乘法。
4
BC = BD + DC = 6 + 6√3。
两段拼起来才是整条 BC。垂足 D 落在 BC 内部时用加法，如果某个角是钝角、垂足落到延长线上，那就要改成减法。
答案
BC = 6 + 6√3。
容易错在哪
最容易出错的是高作错地方。高必须作在两个已知角之间的边上，作到别的边上会得到一个既不含 45° 也不含 30° 的直角三角形，算不下去。另外结果保留精确值 6 + 6√3 就行，题目没要求取近似就不要写成 16.39。
若把 ∠C 改成 60°，其余条件不变，BC 是多少。（AD = BD = 6 不变，DC = 6tan 60° = 6√3 = 2√3，BC = 6 + 2√3。分母有根号要有理化。）
讲完了，测一测
勾股定理与锐角三角比
8 题
→
勾股定理与锐角三角比 8 道，含测高测距的应用题
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
