全等三角形的五种判定，从公共边到互余凑角
题量 3 道
分量 上海中考几何证明的基本功，年年考
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·判定全等有五条路。三组边全等用 SSS。有两组边就看夹角，用 SAS。有两组角就看夹边或对边，分别是 ASA 和 AAS。直角三角形多一个 HL（斜边加一条直角边）。SAS 要求角必须是两边的夹角，放到别处就变成 SSA，不能用。
·全等三角形对应边相等、对应角相等。写 △ABC ≅ △DEF 表示 A 对 D、B 对 E、C 对 F，顶点按位置一一对应。顺序写错，后面取的对应边对应角全跟着错。
·常见辅助线有延长线段、连接两点构造公共边、沿对称轴翻折。四边形的题，第一步一般是连对角线拆成两个三角形。
·有公共边找公共边，有公共角找公共角。AD = AD 和 ∠BAC = ∠BAC 都是直接可用的条件，证明里必须写出来，不写就缺条件。
·SSA（两边加一个非夹角）不是合法的判定方法。考试里碰到两边一角，先看那个角在不在两边中间再动手。
例 1
基础
在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，AD ⊥ BC。求证 AB = AC。
图 · 例 1
先想三分钟。D 是中点给了一组等边，垂直给了一组等角，还差一个条件，在图上找找两个三角形共用了什么。
1
在 △ADB 和 △ADC 中
要证 AB = AC，先把它们分到两个三角形里对比
2
BD = DC（D 是 BC 中点）
中点定义，直接用
3
∠ADB = ∠ADC = 90°（AD ⊥ BC）
垂直给了两个直角，正好是 SAS 里的夹角
4
AD = AD（公共边）
同一条线段，两个三角形共用。这步很多人觉得多余就不写，考试会扣分
5
∴ △ADB ≅ △ADC（SAS）
两边夹一角都对应相等，满足 SAS
6
∴ AB = AC（全等三角形对应边相等）
全等之后直接取对应边
答案
由 SAS 得 △ADB ≅ △ADC，所以 AB = AC。
容易错在哪
最常见的失分点是漏写 AD = AD（公共边）。三个条件只写两个，SAS 判定不成立，整题零分。公共边再「显然」也要写在卷子上。
把「D 是 BC 中点」换成「AD 是 ∠BAC 的角平分线」，AD ⊥ BC 不变。改用 ASA 证全等。∠BAD = ∠CAD（角平分线），AD = AD（公共边），∠ADB = ∠ADC = 90°（垂直），得 △ADB ≅ △ADC，所以 AB = AC。
例 2
中档
在四边形 ABCD 中，AB = CD，AB ∥ CD。求证 AD = BC。
图 · 例 2
先想三分钟。四边形没法直接用全等判定。先连一条对角线把它拆成两个三角形，再看平行线能给你什么角。
1
连接 AC
四边形拆成 △ABC 和 △CDA，才能套全等判定
2
在 △ABC 和 △CDA 中
准备逐条列对应关系
3
AB = CD（已知）
题目直接给的等边
4
∠BAC = ∠DCA（AB ∥ CD，内错角相等）
AC 是截线，AB 和 CD 是两条平行线，截出来的内错角相等。这个角恰好夹在 AB 和 AC 之间，是 SAS 需要的夹角
5
AC = CA（公共边）
对角线被两个三角形共用
6
∴ △ABC ≅ △CDA（SAS）
AB = CD，夹角 ∠BAC = ∠DCA，AC = CA，满足 SAS
7
∴ BC = DA，即 AD = BC
全等之后取对应边 BC 和 DA
答案
连 AC，由 SAS 得 △ABC ≅ △CDA，所以 AD = BC。
容易错在哪
容易把 ∠ABC 和 ∠CDA 当成已知相等的角去凑全等。这两个角目前并不知道相等，用它们就变成了 SSA，证明无效。正确做法是找平行线给出的内错角 ∠BAC = ∠DCA，这个角才是两边的夹角。
条件改为 AD = BC、AD ∥ BC，求证 AB = CD。思路一样，连 AC，用 SAS 证 △DAC ≅ △BCA，取对应边得 CD = AB。
例 3
压轴
在 △ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC。过 A 作直线 l，B、C 在 l 两侧。从 B 作 BD ⊥ l 于 D，从 C 作 CE ⊥ l 于 E。求证 △ABD ≅ △CAE。
图 · 例 3
先想三分钟。两个直角已经有了，等腰直角三角形给了一组等边，还缺一个等角。试试在直角三角形里用「两锐角互余」来凑。
1
在 △ABD 和 △CAE 中
框定要对比的两个直角三角形
2
∠ADB = ∠AEC = 90°（BD ⊥ l，CE ⊥ l）
垂直作出的直角，一人一个
3
AB = CA（已知）
等腰直角三角形两腰相等
4
在 Rt△ABD 中，∠ABD + ∠BAD = 90°
直角三角形两个锐角互余，这是基本事实
5
又 ∠BAD + ∠CAE = ∠BAC = 90°
直线 l 把 ∠BAC 这个直角切成了 ∠BAD 和 ∠CAE 两块，加起来还是 90°
6
∴ ∠ABD = ∠CAE
两个式子都等于 90°，减掉公共的 ∠BAD，剩下的相等
7
∴ △ABD ≅ △CAE（AAS）
∠ADB = ∠AEC = 90°，∠ABD = ∠CAE，AB = CA，两组角加一组对应边，满足 AAS
答案
由互余关系得 ∠ABD = ∠CAE，加上 ∠ADB = ∠AEC = 90° 和 AB = CA，由 AAS 得 △ABD ≅ △CAE。
容易错在哪
这题的突破口在角，不在边。∠BAC = 90° 要用在「互余凑等角」上，得出 ∠ABD = ∠CAE，然后 AAS 收掉。如果一开始就盯着等边找 SAS，会卡住，因为第二组等边要证完全等才拿得到。
证完全等后取对应边，得 BD = AE、AD = CE。若直线 l 恰好平分 ∠BAC（即 ∠BAD = ∠CAE = 45°），此时两个直角三角形各自也是等腰直角三角形，AD = BD 且 AE = CE，代入得 BD = AE = AD = CE，四段全等。
讲完了，测一测
几何
8 题
→
几何 8 道，三角形、四边形、圆的证明与计算
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
