二次函数

【配方】取一次项系数 -6 的一半得 -3，再平方得 9，加上又减去：
y = x² - 6x + 9 - 9 + 5

【凑成完全平方】
y = (x - 3)² - 4

【读顶点】顶点式 y = a(x - h)² + k 里，顶点就是 (h, k)：
顶点 (3, -4)，对称轴是直线 x = 3

【验一下】x = 3 时 y = 9 - 18 + 5 = -4 ✓

【看开口】a = -3 < 0，开口向下

【求对称轴】公式 x = -b / (2a)：
x = -12 / (2 × (-3)) = -12 / (-6) = 2

【求顶点纵坐标】把 x = 2 代回：
y = -3 × 4 + 12 × 2 - 7 = -12 + 24 - 7 = 5

【结论】开口向下，对称轴 x = 2，顶点 (2, 5)。因为开口向下，这个顶点是最高点，y 的最大值就是 5

【与 x 轴交点】令 y = 0：
x² - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 或 x = -2

所以与 x 轴交于 (3, 0) 和 (-2, 0)

【与 y 轴交点】令 x = 0：
y = -6，交于 (0, -6)

【记一条】与 y 轴的交点纵坐标就是常数项 c，不用算

【配方】
y = 2(x² - 2x) + 5
= 2(x² - 2x + 1 - 1) + 5
= 2(x - 1)² - 2 + 5
= 2(x - 1)² + 3

【读最值】a = 2 > 0，开口向上，顶点处取最小值

(x - 1)² 最小是 0，此时 x = 1，y = 3

【结论】x = 1 时取得最小值 3。开口向上只有最小值，没有最大值

【看点选形式】(1, 0) 和 (3, 0) 都在 x 轴上，说明 1 和 3 是方程的两个根，用交点式最省事：
y = a(x - 1)(x - 3)

【代第三点定 a】把 (0, 3) 代入：
3 = a × (-1) × (-3) = 3a
a = 1

【写出解析式】
y = (x - 1)(x - 3) = x² - 4x + 3

【求顶点】对称轴 x = (1 + 3) / 2 = 2（两根的中点）
y = 4 - 8 + 3 = -1
顶点 (2, -1)

【由对称轴定 b】对称轴 x = -b / (2a) = -1
-b = -2a
b = 2a

【用对称性找另一个交点】抛物线关于对称轴左右对称，两个交点到对称轴的距离相等

已知一个交点横坐标是 1，它到 x = -1 的距离是 1 - (-1) = 2

另一个交点在对称轴左边同样远处：-1 - 2 = -3

【结论】另一个交点是 (-3, 0)。这一步不用解方程，对称性直接给答案

【左加右减，管的是 x】向右平移 3 个单位，把 x 换成 x - 3：
y = 2(x - 3)²

【上加下减，管的是整个式子】再向下平移 4 个单位：
y = 2(x - 3)² - 4

【读顶点】顶点 (3, -4)

【对一下】原来的顶点是 (0, 0)，向右 3 向下 4 正好到 (3, -4) ✓

【列关系】利润 = 每件赚的 × 卖出的件数
W = (x - 20)(-2x + 100)

【展开】
W = -2x² + 100x + 40x - 2000
W = -2x² + 140x - 2000

【求最大值】a = -2 < 0，开口向下，顶点处最大
x = -140 / (2 × (-2)) = 35

【算最大利润】
W = -2 × 35² + 140 × 35 - 2000
= -2450 + 4900 - 2000 = 450

【结论】售价定为 35 元时，每天利润最大，是 450 元

【交点个数看判别式】令 y = 0：x² - 2x + k = 0
Δ = b² - 4ac = 4 - 4k

【两个不同交点】Δ > 0：
4 - 4k > 0
k < 1

【只有一个交点】Δ = 0：
4 - 4k = 0
k = 1

【顺带记住】Δ < 0（即 k > 1）时，抛物线整个在 x 轴上方，一个交点也没有

【求与 x 轴交点】令 y = 0：
-x² + 2x + 3 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3 或 x = -1

A 在左边，所以 A(-1, 0)、B(3, 0)，AB = 3 - (-1) = 4

【求与 y 轴交点】令 x = 0：y = 3，得 C(0, 3)

【求顶点】对称轴 x = -2 / (2 × (-1)) = 1
y = -1 + 2 + 3 = 4
P(1, 4)

【算面积】两个三角形都以 AB 为底，底长 4

△PAB 的高就是 P 的纵坐标 4：
S = ½ × 4 × 4 = 8

△ABC 的高就是 C 的纵坐标 3：
S = ½ × 4 × 3 = 6

【易错】高是纵坐标的绝对值，不是横坐标；点在 x 轴下方时要取绝对值

【写出动点坐标】D 在 x 轴上且 OD = t，所以 D(t, 0)

P 在抛物线上且横坐标也是 t，所以 P(t, -t² + 2t + 3)

【表示 PD】PD 是竖直线段，长度等于 P 的纵坐标（第一象限里为正）：
PD = -t² + 2t + 3

【求最大值】配方：
PD = -(t² - 2t) + 3
= -(t - 1)² + 1 + 3
= -(t - 1)² + 4

开口向下，t = 1 时取最大值 4

【验范围】t = 1 落在 0 < t < 3 里，成立 ✓

【易错】算出顶点之后一定要回头看 t 的取值范围。如果顶点不在范围内，最值就要取在端点上

【联立】交点处两个 y 相等：
x² - 2x - 3 = x - 3

【整理成一元二次方程】
x² - 3x = 0
x(x - 3) = 0
x = 0 或 x = 3

【回代求纵坐标】代进直线（更简单）：
x = 0 时 y = -3，得 (0, -3)
x = 3 时 y = 0，得 (3, 0)

【求线段长】两点间距离公式：
AB = √((3 - 0)² + (0 - (-3))²)
= √(9 + 9) = √18 = 3√2

【易错】回代要代进原式，代错式子答案就错；两个式子哪个简单代哪个