圆与切线：判定、性质、切线长定理的三种用法
题量 3 道
分量 上海中考 22 / 23 题常考
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·切线的判定与性质：经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线；反过来，⊙O 的切线一定垂直于过切点的半径。看到切线，第一步永远是连半径、标直角——写 OA ⊥ PA（A 为切点），直角三角形就出来了。
·切线长定理：从圆外一点 P 向 ⊙O 作两条切线 PA、PB（A、B 为切点），则 PA = PB，且 OP 平分 ∠APB。两条结论要一起记，角平分线这条在求角度和面积时特别有用。
·弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。换句话说，切线与弦的夹角等于这条弦在另一侧弧上所对的圆周角。这个定理在切线与弦组合题中经常用来找相等的角。
例 1
基础
如图，PA 是 ⊙O 的切线，A 为切点，连接 PO 交 ⊙O 于点 B。若 PA = 8，OA = 6，求 PB 的长。
图 · 例 1
先想三分钟。切线垂直于过切点的半径，构造直角三角形后用勾股定理。注意最后问的是 PB，不是 OP。
先自己算，把结果填进来
PB
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
由切线性质得 OA ⊥ PA，即 ∠OAP = 90°，△OAP 是直角三角形。
切线垂直于过切点的半径——这是切线题的起手式，几乎每道题都要写。证明题里必须明确写出这一步，不写要扣步骤分。
2
在 Rt△OAP 中，由勾股定理得 OP = √(PA² + OA²) = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = 10。
已知两条直角边 PA = 8、OA = 6，用勾股定理求斜边。看到 6 和 8 要反应过来这是 3-4-5 的两倍，算出 10。
3
PB = OP − OB = 10 − 6 = 4。
OB 是半径，和 OA 相等，都等于 6。题目问的是 PB，所以要用 OP 减掉半径，别算出 OP 就停了。
答案
PB = 4。
容易错在哪
最常见的错误是算出 OP = 10 就直接当答案交了，漏掉最后一步减半径。另外也有同学把 OA 和 PA 搞反，拿 PA 当半径——谁是半径看清楚，O 是圆心，OA 才是半径。
若已知 PB = 4、OA = 6，求 PA 的长。（先求 OP = PB + OB = 4 + 6 = 10，再在 Rt△OAP 中用勾股定理 PA = √(OP² − OA²) = √(100 − 36) = 8。注意这次 PA 是直角边不是斜边。）
例 2
中档
如图，PA、PB 分别是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，∠APB = 60°，PA = 4√3。求 ⊙O 的半径及 △PAB 的面积。
图 · 例 2
先想三分钟。用切线长定理得 PA = PB 和 OP 平分 ∠APB，在 Rt△OAP 中用三角比求半径。
先自己算，把结果填进来
半径 r
S△PAB
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
由切线长定理得 PA = PB = 4√3，且 OP 平分 ∠APB。
从圆外一点引两条切线，切线长相等、连心线平分夹角，这两条结论同时用。考试时写切线长定理要把这两条都列出来，后面的角平分线马上就要用。
2
∠APO = ∠APB2 = 60°2 = 30°。
OP 是角平分线，把 60° 一分为二，得到 Rt△OAP 中的一个锐角。
3
在 Rt△OAP 中（∠OAP = 90°），OA = PA · tan 30° = 4√3 × √33 = 4。
已知邻边 PA 和角 ∠APO = 30°，用正切比求对边 OA（即半径）。tan 30° = √33，考试前默写一遍特殊角三角比表。
4
S△PAB = 12 · PA · PB · sin ∠APB = 12 · 4√3 · 4√3 · sin 60° = 12 · 48 · √32 = 12√3。
已知两边及夹角，直接用面积公式 S = 12ab sin C。注意 4√3 · 4√3 = 48，不是 16。
答案
半径 r = 4，S△PAB = 12√3。
容易错在哪
两处高频错误。一是 tan 30° 和 tan 60° 记反——tan 30° = √33，tan 60° = √3，记反了半径就算成 12。二是 (4√3)² = 48 算成 (4√3)² = 16，漏乘了 (√3)² = 3。
若 ∠APB = 90°，PA = 5，求劣弧 AB 的长。（∠APO = 45°，半径 OA = PA · tan 45° = 5，圆心角 ∠AOB = 360° − 2 · 90° − 90° = 90°... 不对，用四边形内角和：∠AOB = 360° − 90° − 90° − 90° = 90°，弧长 l = 90 · π · 5180 = 5π2。）
例 3
压轴
如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，过点 C 作 ⊙O 的切线 CD，交 BA 的延长线于点 D。若 AB = 10，∠D = 30°，求 BC 和 CD 的长。
图 · 例 3
先想三分钟。切线 ⊥ 半径构造 Rt△OCD，直径所对的圆周角 = 90° 构造 Rt△ABC。两个直角三角形各管一半，关键是搞清楚 ∠BOC 和 ∠COD 的关系。
先自己算，把结果填进来
BC
CD
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
由切线性质得 OC ⊥ CD，即 ∠OCD = 90°。
CD 是切线，OC 是过切点的半径，切线垂直于半径——老规矩，先把直角标出来。
2
在 Rt△OCD 中，∠D = 30°，所以 ∠COD = 180° − 90° − 30° = 60°。
直角三角形内角和 = 180°，减去直角和已知角就得到第三个角。
3
D 在 BA 的延长线上，B、O、A、D 四点共线且 O 在 B 与 D 之间，所以 ∠BOC 与 ∠COD 互补：∠BOC = 180° − ∠COD = 180° − 60° = 120°。
这是这道题的关键一步。OB 和 OD 是反向的两条射线，合起来是平角 180°，被 OC 分成两个互补的角。很多同学在这里把互补写成了相等，直接丢掉一半分。
4
∠BAC 是弧 BC 上的圆周角，∠BOC 是同弧上的圆心角，所以 ∠BAC = 12 ∠BOC = 12 · 120° = 60°。
圆周角等于同弧所对的圆心角的一半。这条定理把 Rt△OCD 的结果传递到了 △ABC 里。
5
AB 是直径，所以 ∠ACB = 90°。
直径所对的圆周角是直角（Thales 定理）。到这里 △ABC 就成了一个直角三角形，已知斜边 AB = 10 和一个锐角 ∠BAC = 60°，可以解了。
6
在 Rt△ABC 中，BC = AB · sin ∠BAC = 10 · sin 60° = 10 · √32 = 5√3。
已知斜边和一个锐角，用正弦比求对边。
7
回到 Rt△OCD，OC = AB2 = 5（半径），CD = OC · tan ∠COD = 5 · tan 60° = 5√3。
在直角三角形中已知一条直角边 OC 和对面的角 ∠D = 30°（或邻角 ∠COD = 60°），用正切比求另一条直角边。
答案
BC = 5√3，CD = 5√3。
容易错在哪
最大的坑在第三步：∠BOC 与 ∠COD 是互补关系（不是相等）。D 在 BA 的延长线上意味着 O 在 B 与 D 之间，OB 和 OD 方向相反。另外别把圆心角和圆周角搞混，∠BAC 是圆周角，是圆心角的一半，不是相等。
若改为 CD 交 AB 的延长线于 D（D 在 B 侧），其余条件不变，求 BC 和 CD。（此时 A、O、B、D 共线且 B 在 O 与 D 之间，∠BOC = ∠COD = 60°——注意这次是相等不是互补！∠BAC = 30°，BC = 5，CD = 5√3。对比两道题体会延长线方向如何影响角度关系。）
讲完了，测一测
几何
8 题
→
几何 8 道，圆的性质与计算排在后半段
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
