几何

解题思路：利用「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」以及 30° 角的直角三角形性质。

解：
（1）
∵ ∠BAC = 90°，D 是斜边 BC 的中点
∴ 由定理「直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半」可得：
AD = BC / 2 = 10 / 2 = 5

（2）
∵ ∠BAC = 90°，∠B = 30°
∴ ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°

由定理「在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半」：
AC = BC / 2 = 10 / 2 = 5

由勾股定理：
AB = √(BC² - AC²) = √(100 - 25) = √75 = 5√3

【小结】本题考查两个基本定理：①斜边中线 = 斜边/2；②30° 对边 = 斜边/2。注意到（1）和（2）中 AD = AC = 5，这正是因为两个定理在此处给出相同的结果。

解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分成两个与原三角形相似的小三角形，利用相似比例关系求解。

解：
（1）
∵ ∠BAC = 90°，AD ⊥ BC
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°

在 △ABD 和 △CAD 中：
∠ADB = ∠CDA = 90°
∵ ∠B + ∠BAD = 90°（在 Rt△ABD 中）
   ∠DAC + ∠BAD = 90°（∵ ∠BAC = 90°）
∴ ∠B = ∠DAC
∴ △ABD ∽ △CAD（AA）

由相似可得：
BD / AD = AD / CD
AD² = BD × CD = 4 × 9 = 36
AD = 6

（2）
BC = BD + DC = 4 + 9 = 13

在 Rt△ABD 中，由勾股定理：
AB = √(AD² + BD²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13

在 Rt△ACD 中，由勾股定理：
AC = √(AD² + DC²) = √(36 + 81) = √117 = 3√13

【验证】AB² + AC² = 52 + 117 = 169 = 13² = BC²，满足勾股定理。✓

【小结】本题核心是「射影定理」：AD² = BD × CD。这个结论的本质是两个小直角三角形相似。记住这个结论可以快速求高。

解题思路：利用平行线的性质找等角，再结合中点条件和对顶角证全等。全等之后利用对应边相等推导。

证明：
（1）
∵ ABCD 是平行四边形
∴ AB ∥ DC（平行四边形对边平行）
∵ F 在 DC 的延长线上（C 在 D 与 F 之间）
∴ AB ∥ CF

∵ AB ∥ CF，BC 为截线
∴ ∠ABE = ∠FCE（内错角相等）

又 ∵ E 是 BC 的中点
∴ BE = CE

∵ A、E、F 三点共线（AE 延长到 F），B、E、C 三点共线（E 在 BC 上）
∴ ∠AEB = ∠FEC（对顶角相等）

在 △ABE 和 △FCE 中：
  ∠ABE = ∠FCE（已证）
  BE = CE（E 为中点）
  ∠AEB = ∠FEC（对顶角）
∴ △ABE ≅ △FCE（AAS）  ■

（2）
由（1）知 △ABE ≅ △FCE
∴ AB = FC（全等三角形对应边相等）

∵ ABCD 是平行四边形
∴ AB = DC（平行四边形对边相等）
∴ FC = DC

又 ∵ C 在 D 与 F 之间
∴ DF = DC + CF = DC + DC = 2DC = 2CD  ■

【小结】本题是经典的「中点 + 平行 → 全等」模型。看到中点，考虑延长线构造全等三角形，是几何证明中常用的辅助线思路。

解题思路：利用菱形对角线互相垂直平分的性质建立直角三角形，用勾股定理求边长，用面积的两种表达方式求距离。

解：
（1）
∵ 菱形的对角线互相垂直平分
∴ OA = AC / 2 = 16 / 2 = 8
   OB = BD / 2 = 12 / 2 = 6
   OA ⊥ OB

在 Rt△AOB 中，由勾股定理：
AB² = OA² + OB² = 64 + 36 = 100
AB = 10

（2）
菱形面积 = 两条对角线乘积的一半
S = (1/2) × AC × BD = (1/2) × 16 × 12 = 96

（3）
设 O 到 AB 的距离为 h。

菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形，所以：
S_△AOB = S_菱形 / 4 = 96 / 4 = 24

另一方面，以 AB 为底，h 为高：
S_△AOB = (1/2) × AB × h = (1/2) × 10 × h = 5h

∴ 5h = 24
h = 24/5 = 4.8

【小结】第（3）问用了「同一个三角形的面积用两种方式表达」的技巧——这在几何计算中非常常用。记住：面积不变，底和高可以换。

解题思路：利用圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角为 90°、以及弧长公式。

解：
（1）
∵ ∠ABC 是圆周角，∠AOC 是同弧 AC 上的圆心角
∴ ∠AOC = 2 × ∠ABC = 2 × 30° = 60°

（2）
∵ AB 是⊙O 的直径
∴ ∠ACB = 90°（直径所对的圆周角为直角）

在 Rt△ACB 中：
∠ABC = 30°，∠ACB = 90°
∴ ∠BAC = 180° - 90° - 30° = 60°

AC = AB × sin∠B = 10 × sin30° = 10 × (1/2) = 5

（也可以用「30° 角所对的直角边 = 斜边的一半」直接得到 AC = AB/2 = 5）

（3）
弧 AC 所对的圆心角为 60°，半径 r = 5

弧长 = (圆心角 / 360°) × 2πr
     = (60 / 360) × 2π × 5
     = (1/6) × 10π
     = 5π/3

【小结】圆中有直径时，一定要想到「直径所对圆周角 = 90°」——这个性质能帮你构造直角三角形，从而把圆的问题转化成三角形的计算。

解题思路：第（1）问用切割线定理（切线长² = 两割线段之积）；第（2）问利用切线 ⊥ 半径构造直角三角形。

解：
（1）
由切割线定理：
PA² = PB × PC

∵ PB = 4，BC = 5
∴ PC = PB + BC = 4 + 5 = 9

PA² = 4 × 9 = 36
PA = 6

（2）
∵ PA 是⊙O 的切线，A 为切点
∴ OA ⊥ PA（切线与过切点的半径垂直）

在 Rt△OAP 中（∠OAP = 90°）：
PO² = PA² + OA²
PO² = 36 + 64 = 100
PO = 10

【小结】切割线定理 PA² = PB × PC 是圆中常考的定理。只要看到「外点 + 切线 + 割线」的组合，就应该想到用这个定理。另外，「切线 ⊥ 半径」是连接切线与圆心的关键桥梁。

解题思路：利用两点间距离公式、三角形面积公式、中点坐标公式逐步求解。

解：
（1）
A(0, 6)，B(8, 0)
由两点间距离公式：
AB = √((8 - 0)² + (0 - 6)²)
   = √(64 + 36)
   = √100
   = 10

（2）
A 在 y 轴上，B 在 x 轴上，O 为原点。
以 OB 为底（OB = 8），A 到 x 轴的距离为高（高 = 6）：

S_△AOB = (1/2) × OB × 高
       = (1/2) × 8 × 6
       = 24

（3）
由中点坐标公式：
M = ((x_A + x_B) / 2, (y_A + y_B) / 2)
  = ((0 + 8) / 2, (6 + 0) / 2)
  = (4, 3)

OM = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

【发现】OM = 5 = AB / 2 = 10 / 2。这不是巧合——因为 ∠AOB = 90°（O 在直角处），而直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半！这和例题 1 用的是同一个定理。

解题思路：综合运用直径所对圆周角 = 90°、相似三角形比例、切线判定定理。本题是「直角三角形 + 圆」的经典综合题型。

解：
（1）
∵ AC 是⊙O 的直径，O 是 AC 的中点
∴ 半径 r = AC / 2 = 6 / 2 = 3

在 Rt△ABC 中，由勾股定理：
AB = √(AC² + BC²) = √(36 + 64) = √100 = 10

（2）
∵ AC 是⊙O 的直径，D 是⊙O 上的点
∴ ∠ADC = 90°（直径所对的圆周角为直角）

在 △ACD 和 △ACB 中：
∠ADC = ∠ACB = 90°
∠A = ∠A（公共角）
∴ △ACD ∽ △ACB（AA）

由相似比例关系：
AD / AC = AC / AB
AD = AC² / AB = 36 / 10 = 18/5（即 3.6）

【验证】CD = AC × BC / AB = 6 × 8 / 10 = 24/5。
AD² + CD² = (18/5)² + (24/5)² = 324/25 + 576/25 = 900/25 = 36 = AC²。✓

（3）证明：
∵ O 是 AC 的中点
∴ OC = AC / 2 = 3 = 半径
∴ C 在⊙O 上

又 ∵ ∠ACB = 90°（已知）
∴ AC ⊥ BC
∵ O 在 AC 上（O 是 AC 中点），即 OC 是 AC 的一部分
∴ OC ⊥ BC

即 BC 经过⊙O 上的点 C，且与过点 C 的半径 OC 垂直。
∴ 由切线判定定理：BC 是⊙O 的切线。  ■

【小结】这道综合题把直角三角形、圆、相似三角形、切线判定四个知识点串在一起。解题关键：①看到直径想到圆周角 90°；②90° 构造相似三角形；③切线判定 = 过圆上点 + 垂直于半径。