函数

∵ 图像经过 A(2, 5)，代入 y = kx + b：

2k + b = 5  ……①

∵ 图像经过 B(-1, -1)，代入 y = kx + b：

-k + b = -1  ……②

① - ②：2k + b - (-k + b) = 5 - (-1)

3k = 6，∴ k = 2

把 k = 2 代入 ②：-2 + b = -1，∴ b = 1

∴ 一次函数的解析式为 y = 2x + 1

（1）求函数关系式

当 x > 3 时，超出部分的路程为 (x - 3) 公里

超出部分费用 = 2.5 × (x - 3) 元

∴ y = 14 + 2.5(x - 3) = 14 + 2.5x - 7.5

∴ y = 2.5x + 6.5（x > 3）

（2）求行驶 10 公里的费用

把 x = 10 代入 y = 2.5x + 6.5：

y = 2.5 × 10 + 6.5 = 25 + 6.5 = 31.5

∴ 行驶 10 公里需要 31.5 元。

（1）求 k 和函数解析式

∵ 图像经过 (3, 4)，代入 y = k/x：

4 = k/3，∴ k = 3 × 4 = 12

∴ 函数解析式为 y = 12/x

（2）判断点 (-2, -6) 是否在图像上

把 x = -2 代入 y = 12/x：

y = 12/(-2) = -6

∴ 点 (-2, -6) 在该函数的图像上。

【与 x 轴交点】令 y = 0：
-2x + 6 = 0，x = 3，得 (3, 0)

【与 y 轴交点】令 x = 0：
y = 6，得 (0, 6)

【围成的三角形】直角边就是两个截距的长度：3 和 6

S = ½ × 3 × 6 = 9

【记一条】这个三角形的直角顶点永远在原点，两条直角边就是横截距和纵截距的绝对值

设 P(a, b) 在反比例函数 y = 6/x 的图像上（第一象限，a > 0，b > 0）

∴ b = 6/a，即 ab = 6

过 P 作 x 轴的垂线，垂足 M(a, 0)

过 P 作 y 轴的垂线，垂足 N(0, b)

矩形 OMPN 的长为 OM = a，宽为 ON = b

∴ S_矩形OMPN = a × b = ab = 6

∴ 矩形 OMPN 的面积为 6。（注意：无论 P 在双曲线上哪个位置，面积都等于 |k|）

y = 2x² - 8x + 5

先提取 x² 项系数：

= 2(x² - 4x) + 5

括号内配方（取一次项系数 -4 的一半 -2，再平方得 4）：

= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5

= 2(x - 2)² - 2 × 4 + 5

= 2(x - 2)² - 8 + 5

= 2(x - 2)² - 3

∴ 顶点式为 y = 2(x - 2)² - 3

顶点坐标为 (2, -3)，对称轴方程为 x = 2。

（1）求最大高度

h = -5t² + 10t

= -5(t² - 2t)

= -5(t² - 2t + 1 - 1)

= -5(t - 1)² + 5

∵ a = -5 < 0，抛物线开口向下

∴ 当 t = 1 秒时，h 取最大值 5 米。

（2）求落地时间

落地时 h = 0：

-5t² + 10t = 0

-5t(t - 2) = 0

∴ t = 0 或 t = 2

t = 0 为踢出时刻，t = 2 为落地时刻

∴ 足球从踢出到落地共经过 2 秒。

【面积与 k 的关系】设 P 的坐标是 (x, y)，那么 PA = |y|，PB = |x|

矩形面积 = |x| × |y| = |xy|

【用上反比例的性质】P 在 y = k/x 上，所以 xy = k

于是 |k| = 6，k = 6 或 k = -6

【用象限定号】图像在第二、四象限，说明 k < 0

【结论】k = -6

【记住这个结论】反比例函数图像上任一点向两轴作垂线围出的矩形，面积恒等于 |k|，跟点选在哪儿无关

【列方程组】两个点都代进 y = kx + b：
k + b = 5
-2k + b = -1

【两式相减消去 b】
(k + b) - (-2k + b) = 5 - (-1)
3k = 6
k = 2

【回代求 b】2 + b = 5，b = 3

所以解析式是 y = 2x + 3

【验点】把 x = 3 代进去：y = 6 + 3 = 9，跟给的纵坐标一样

所以点 (3, 9) 在这条直线上

（1）求 a 和 k

∵ A(2, a) 在直线 y = x + 1 上

∴ a = 2 + 1 = 3，即 A(2, 3)

∵ A(2, 3) 在反比例函数 y = k/x 上

∴ k = 2 × 3 = 6

（2）求另一个交点 B

联立 y = x + 1 与 y = 6/x：

x + 1 = 6/x

两边乘 x（x ≠ 0）：x(x + 1) = 6

x² + x - 6 = 0

(x + 3)(x - 2) = 0

∴ x = -3 或 x = 2

x = 2 对应已知的点 A

当 x = -3 时，y = -3 + 1 = -2

∴ 另一个交点 B(-3, -2)。

（1）求 A、B、C 的坐标

与 x 轴的交点，令 y = 0：

x² - 2x - 3 = 0

(x - 3)(x + 1) = 0

∴ x = -1 或 x = 3

∵ A 在 B 左侧，∴ A(-1, 0)，B(3, 0)

与 y 轴的交点，令 x = 0：

y = 0 - 0 - 3 = -3，∴ C(0, -3)

（2）求顶点坐标和对称轴

y = x² - 2x - 3

= (x² - 2x + 1) - 1 - 3

= (x - 1)² - 4

∴ 顶点坐标为 (1, -4)，对称轴方程为 x = 1。

（3）求 △ABC 的面积

A(-1, 0) 和 B(3, 0) 都在 x 轴上

∴ 以 AB 为底：AB = 3 - (-1) = 4

C(0, -3) 到 x 轴的距离 = |-3| = 3

S_△ABC = (1/2) × AB × h = (1/2) × 4 × 3 = 6

∴ △ABC 的面积为 6。

【联立】-x + 5 = 6/x

两边同乘 x（x ≠ 0）：
-x² + 5x = 6
x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 或 x = 3

【求纵坐标】代进直线：
x = 2 时 y = 3，得 A(2, 3)
x = 3 时 y = 2，得 B(3, 2)

【求面积】△AOB 的两条边都不在坐标轴上，用「直线与坐标轴的交点」来割

直线 y = -x + 5 与 x 轴交于 C(5, 0)，与 y 轴交于 D(0, 5)

S△AOB = S△COD - S△AOD - S△BOC

S△COD = ½ × 5 × 5 = 25/2

S△AOD = ½ × 5 × 2 = 5（底 OD = 5，高是 A 的横坐标 2）

S△BOC = ½ × 5 × 2 = 5（底 OC = 5，高是 B 的纵坐标 2）

S△AOB = 25/2 - 5 - 5 = 5/2

【易错】算 S△AOD 时高取的是 A 的横坐标，算 S△BOC 时高取的是 B 的纵坐标，两者别弄反