15 题诊断卷

【判断依据】形如 √a 的式子叫二次根式，有意义的条件是被开方数 a ≥ 0；如果式子里还有分母，分母不能为 0。

（1）3 - 2x ≥ 0
-2x ≥ -3
两边同除以 -2，不等号变向：x ≤ 3/2

（2）两个条件同时满足：
分子：x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
分母：x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2
取值范围：x ≥ -1 且 x ≠ 2

（3）两个根号都要有意义：
x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1
5 - x ≥ 0 → x ≤ 5
取交集：1 ≤ x ≤ 5

（4）x² ≥ 0，所以 x² + 1 ≥ 1 > 0 恒成立
取值范围：x 为任意实数

易错提醒：（1）里除以负数忘记变号，是这一题型头号错误；（2）里只写 x ≥ -1、漏掉 x ≠ 2 也很常见 —— 有分母就一定要多看一眼。

【最简二次根式的两个标准】
① 被开方数里不含能开得尽方的因数（因式）；
② 被开方数里不含分母。

（1）√75：把 75 拆成「完全平方数 × 剩下的」
75 = 25 × 3
√75 = √25 × √3 = 5√3

（2）√(3/5)：被开方数含分母，先把分母配成完全平方
√(3/5) = √(3 × 5 / (5 × 5)) = √15 / √25 = √15 / 5

（3）√(18x²y)：18 = 9 × 2，x² 是完全平方因式
√(18x²y) = √9 × √(x²) × √(2y) = 3 × |x| × √(2y)
因为 x > 0，|x| = x
原式 = 3x√(2y)

（4）√0.08：小数先化成分数
0.08 = 8/100
√(8/100) = √8 / 10 = 2√2 / 10 = √2 / 5

易错提醒：（3）里 √(x²) = |x| 而不是 x，题目没给 x > 0 时必须带绝对值；另外化简做到一半就停手（比如把 √75 写成 √25 × √3 就交卷）也算不彻底。

【有理化因式怎么找】
分母是 √a → 乘 √a；
分母是 √a + √b → 乘 √a - √b（利用平方差公式，两个互为有理化因式）。

（1）分子分母同乘 √6：
3 / √6 = 3√6 / (√6 × √6) = 3√6 / 6 = √6 / 2

（2）分子分母同乘 (√5 + 1)：
4 / (√5 - 1) = 4(√5 + 1) / [(√5 - 1)(√5 + 1)]
分母用平方差：(√5)² - 1² = 5 - 1 = 4
原式 = 4(√5 + 1) / 4 = √5 + 1

（3）分子分母同乘 (√3 - √2)：
分母：(√3 + √2)(√3 - √2) = 3 - 2 = 1
分子：(√3 - √2)² = 3 - 2√6 + 2 = 5 - 2√6
原式 = (5 - 2√6) / 1 = 5 - 2√6

【验算思路】用计算器估一下：√3 ≈ 1.732，√2 ≈ 1.414
原式 ≈ 0.318 / 3.146 ≈ 0.101；5 - 2√6 ≈ 5 - 4.899 = 0.101 ✓

易错提醒：含多项式分母时，乘的是整个共轭式，分子分母都要乘，而且分子要按完全平方（或平方差）公式老老实实展开 —— 只乘分母是最常见的错。

【思路】哪个未知数系数是 ±1，就用哪个式子表示它。①里 y 的系数是 1。

【由 ① 得】
y = 7 - 2x  …③

【把 ③ 代入 ②】（注意整体加括号）
3x - 2(7 - 2x) = 0
3x - 14 + 4x = 0
7x = 14
x = 2

【回代 ③】
y = 7 - 2 × 2 = 3

【解】x = 2，y = 3

【检验】① 2 × 2 + 3 = 7 ✓；② 3 × 2 - 2 × 3 = 0 ✓

易错提醒：代入时一定要给整个式子加括号：-2(7 - 2x) 展开是 -14 + 4x，写成 -14 - 4x 是最高频的错误。方程组的解要写成一对，不能只写 x。

【通法：用一次方程代入降次】

【由 ① 得】y = 5 - x  …③

【代入 ②】
x² + (5 - x)² = 13
x² + 25 - 10x + x² = 13
2x² - 10x + 12 = 0
两边除以 2：x² - 5x + 6 = 0
因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0
x₁ = 2，x₂ = 3

【分别回代 ③】
x = 2 → y = 3
x = 3 → y = 2

【解】两组解：
x = 2，y = 3  或  x = 3，y = 2

【检验】2² + 3² = 4 + 9 = 13 ✓

易错提醒：二元二次方程组的解常常有两组，求出 x 的两个值后要各自配对回代，不能把 x₁ 和 y₂ 混着写。

【设未知数】设平均每次降价的百分率为 x。

【找等量关系】降价一次后是原价的 (1 - x) 倍，两次就是 (1 - x)²
原价 × (1 - x)² = 现价

【列方程】
200(1 - x)² = 162

【解方程】用开平方法更快
(1 - x)² = 162/200 = 0.81
1 - x = ±0.9
x₁ = 0.1，x₂ = 1.9

【取舍】降价百分率不可能大于 1（降 190% 没有意义），舍去 x = 1.9
x = 0.1 = 10%

【验算】200 × 0.9 = 180，180 × 0.9 = 162 ✓

【答】平均每次降价 10%。

易错提醒：增长率模型统一是 a(1 ± x)ⁿ = b：增长用加号、下降用减号，n 是变化次数。两个根一定要按实际意义取舍，降价率必须在 0 到 1 之间。

【与 x 轴交点】令 y = 0：
x² - x - 6 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 或 x = -2

所以与 x 轴交于 (3, 0) 和 (-2, 0)

【与 y 轴交点】令 x = 0：
y = -6，交于 (0, -6)

【记一条】与 y 轴的交点纵坐标就是常数项 c，不用算

∵ 图像经过 A(2, 5)，代入 y = kx + b：

2k + b = 5  ……①

∵ 图像经过 B(-1, -1)，代入 y = kx + b：

-k + b = -1  ……②

① - ②：2k + b - (-k + b) = 5 - (-1)

3k = 6，∴ k = 2

把 k = 2 代入 ②：-2 + b = -1，∴ b = 1

∴ 一次函数的解析式为 y = 2x + 1

【列关系】利润 = 每件赚的 × 卖出的件数
W = (x - 20)(-2x + 100)

【展开】
W = -2x² + 100x + 40x - 2000
W = -2x² + 140x - 2000

【求最大值】a = -2 < 0，开口向下，顶点处最大
x = -140 / (2 × (-2)) = 35

【算最大利润】
W = -2 × 35² + 140 × 35 - 2000
= -2450 + 4900 - 2000 = 450

【结论】售价定为 35 元时，每天利润最大，是 450 元

【勾股定理】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²

（1）c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10

（2）另一直角边 b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 → b = 12

（3）没说哪条是斜边，必须分类讨论：
① 若 3、4 都是直角边：第三边（斜边）= √(9 + 16) = 5
② 若 4 是斜边、3 是直角边：第三边 = √(16 - 9) = √7
（3 不可能是斜边，斜边最长）
所以第三边是 5 或 √7

（4）等腰三角形作底边上的高，高同时也是底边中线
半底 = 3，腰 = 5
高 h = √(5² - 3²) = √16 = 4
面积 = ½ × 6 × 4 = 12

易错提醒：（3）是最经典的陷阱题：题目只说「两边」而没说是不是直角边，漏掉 √7 这一种情况直接扣一半分。看到「两边」两个字就要警觉。

【先求斜边】AB = √(3² + 4²) = 5

【四个三角比的定义】（都是相对于 ∠A 而言）
sinA = ∠A 的对边 / 斜边 = BC/AB = 4/5
cosA = ∠A 的邻边 / 斜边 = AC/AB = 3/5
tanA = 对边 / 邻边 = BC/AC = 4/3
cotA = 邻边 / 对边 = AC/BC = 3/4

【同角关系】
sin²A + cos²A = 16/25 + 9/25 = 1 ✓
tanA · cotA = 4/3 × 3/4 = 1 ✓
tanA = sinA / cosA = (4/5)/(3/5) = 4/3 ✓

【互余关系】∠A + ∠B = 90°
cosB = BC/AB = 4/5 = sinA
即 sinA = cosB（一个角的正弦等于它余角的余弦），同理 tanA = cotB

易错提醒：三角比是比值，没有单位，也与三角形大小无关（把三边同时放大 2 倍，sinA 不变）。定对边邻边时要盯住是哪个角，换个角对边邻边就互换了。

【第一步：画图建模】把实际问题转成直角三角形
设测角仪在 D 处，视线与旗杆交于 A，过 D 作水平线交旗杆于 E。
则 DE = 20（水平距离），∠ADE = 60°（仰角），旗杆下段 BE = 测角仪高 = 1.5。

【第二步：在 Rt△ADE 中求 AE】
tan∠ADE = AE / DE
AE = DE · tan60° = 20 × √3 = 20√3
≈ 20 × 1.732 = 34.64（米）

【第三步：加上测角仪高度】
旗杆高 = AE + BE = 34.64 + 1.5 = 36.14
≈ 36.1（米）

【答】旗杆高约 36.1 米。

易错提醒：仰角是视线与水平线的夹角，不是与旗杆的夹角；算完千万别忘了把测角仪（或人眼）的高度加回去 —— 这是应用题最常丢的 1 分。

【平均数】所有数据之和 ÷ 个数
(3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 8) ÷ 6 = 30 ÷ 6 = 5

【中位数】先排序（本题已按从小到大排好），再取中间
共 6 个数（偶数个），取中间两个的平均数：
中间两个是第 3 个和第 4 个，即 4 和 5
中位数 = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5

【众数】出现次数最多的数
4 出现 2 次，其余各 1 次
众数 = 4

【方差】每个数据与平均数之差的平方的平均数
s² = [(3-5)² + (4-5)² + (4-5)² + (5-5)² + (6-5)² + (8-5)²] ÷ 6
= (4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 9) ÷ 6
= 16 ÷ 6 = 8/3 ≈ 2.67

易错提醒：求中位数必须先排序，题目给的数据经常是乱序的；数据个数是偶数时取中间两个的平均数。众数可能不止一个，也可能没有。

【（1）扇形统计图】整个圆是 360°，代表总数
篮球所占比例 = 20 ÷ 50 = 0.4 = 40%
圆心角 = 360° × 0.4 = 144°

【（2）频数与频率】
频率 = 频数 ÷ 总数，所以 总数 = 频数 ÷ 频率
总数 = 8 ÷ 0.16 = 50（人）

另一组频数 = 总数 × 频率 = 50 × 0.3 = 15（人）

【两条检查用的性质】
各组频数之和 = 总数；各组频率之和 = 1（各扇形圆心角之和 = 360°）

易错提醒：圆心角别忘了乘 360 而不是 100；频率是小数（或百分数），频数是人数，两者的单位概念不能混。

【第一问】白球 3 个，总共 5 个：
P(白) = 3/5

【第二问，不放回要逐次算】第一次摸到白球：3/5

摸走一个白球之后，袋里剩 4 个球，其中白球 2 个

第二次也摸到白球：2/4 = 1/2

两步都要发生，概率相乘：
P = 3/5 × 1/2 = 3/10

【易错】不放回时第二次的分母是 4 不是 5，分子也少了一个。放回的话两次都是 3/5，答案就变成 9/25