统计与概率：三个代表数、方差与不放回摸球
题量 3 道
分量 上海中考 18 题前后的选择填空，加一道概率解答题
✓ 已练
怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·三个代表数各说各的事。平均数把所有数据摊平，容易被极端值拽走；中位数是排序之后正中间那个，数据个数是偶数时取中间两个的平均；众数是出现次数最多的，可以有好几个，也可以一个都没有。求中位数之前必须先排序，题目给的数据经常是乱序的。
·方差 s² = 1n[(x₁ − x̄)² + (x₂ − x̄)² + … + (xₙ − x̄)²]，量的是数据离平均数有多远。方差越小越稳定，比较两组数据谁更稳就是比方差。算之前先把平均数求准，平均数错了后面全错。
·两步事件求概率用列表法或树状图，把所有等可能的结果一个不落地列出来，再数符合条件的有几个。放回和不放回差别很大，不放回时第二次的总数要减一。「不放回」三个字是这类题唯一的分水岭，读题时先把它圈出来。
例 1
基础
一组数据为 3、7、4、4、9、5。求这组数据的平均数、中位数和众数。
先想三分钟。先排序再找中位数。这组有 6 个数，是偶数，中位数要取中间两个的平均。
先自己算，把结果填进来
平均数
中位数
众数
分数写成 16/3 这样
1
平均数 x̄ = 3 + 7 + 4 + 4 + 9 + 56 = 326 = 163。
平均数不用排序，直接加起来除以个数。除不尽就保留分数，中考里写成 163 比写 5.33 稳妥，除非题目要求取近似。
2
把数据从小到大排成 3、4、4、5、7、9。共 6 个数，中间两个是第 3 个和第 4 个，即 4 和 5。
排序这一步不能省。原始数据里正中间的两个是 4 和 9，不排序直接取会算成 6.5。
3
中位数 = 4 + 52 = 4.5。数据中 4 出现两次，其余各出现一次，所以众数是 4。
偶数个取中间两个的平均，奇数个直接取正中间那一个。众数只看出现次数，跟大小没关系。
答案
平均数 163，中位数 4.5，众数 4。
容易错在哪
不排序就找中位数是这一节最高频的错。还有一个是众数写成出现的次数，众数是那个数本身，这题是 4 不是 2。数据里如果有两个数都出现两次，众数就有两个，都要写上。
把数据里的 9 改成 99，三个量各有什么变化。（平均数从 163 涨到 613，中位数和众数都不变。这正是中位数比平均数抗极端值的地方。）
例 2
中档
甲、乙两名射手各射靶 5 次，环数分别为甲 7、8、9、8、8，乙 10、6、9、7、8。求两人成绩的方差，并判断谁更稳定。
先想三分钟。先分别求平均数。两人的平均数正好相等，这时候只能靠方差分高下。
先自己算，把结果填进来
甲的方差
乙的方差
谁更稳定
第三空填甲或乙
1
x̄甲 = 7 + 8 + 9 + 8 + 85 = 8，x̄乙 = 10 + 6 + 9 + 7 + 85 = 8。
平均数一样，说明两人的总体水平相当。题目问谁更稳定，考的就是方差。如果平均数不一样，那先比平均数再比方差。
2
s²甲 = 15[(7−8)² + (8−8)² + (9−8)² + (8−8)² + (8−8)²] = 1 + 0 + 1 + 0 + 05 = 0.4。
每个数据减平均数再平方，最后除以个数。平方是为了让偏大和偏小都算成正的偏离，不然正负会抵消掉。
3
s²乙 = 15[(10−8)² + (6−8)² + (9−8)² + (7−8)² + (8−8)²] = 4 + 4 + 1 + 1 + 05 = 2。
乙的数据摊得更开，平方和自然更大。算到这里可以估一下，乙有 10 和 6 两个离 8 很远的数，方差肯定大过甲。
4
s²甲 = 0.4 < s²乙 = 2，所以甲更稳定。
方差小意味着数据都挤在平均数附近。结论要写完整，光写两个方差不下判断，比较题会扣分。
答案
s²甲 = 0.4，s²乙 = 2，甲更稳定。
容易错在哪
算平方和时漏项或者算错单个平方，是这道题唯一的失分来源。做完花十秒把平方一个个复核一遍。另外别把方差和标准差搞混，方差是平方和的平均，标准差还要再开一次方，题目问哪个就答哪个。
如果甲第一次的 7 环改成 9 环，甲的方差变成多少。（平均数变成 8.4，s²甲 = 0.36 + 0.16 + 0.36 + 0.16 + 0.165 = 0.24，比原来更稳。）
例 3
压轴
袋中有 3 个红球和 2 个白球，除颜色外完全相同。从袋中不放回地连续摸两次，求两次都摸到红球的概率，以及两次颜色不同的概率。
先想三分钟。题目写的是不放回，第二次摸的时候袋里只剩 4 个球了。可以按分步相乘算，也可以画树状图把 20 种结果全列出来数。
先自己算，把结果填进来
两次都是红球
两次颜色不同
分数写成 3/10 这样
1
第一次摸到红球的概率是 35。
袋里 5 个球，红球 3 个，每个球被摸到的机会相同。这一步和放回不放回没关系，区别在第二次。
2
第一次摸走一个红球后，袋里剩 4 个球，其中红球 2 个。第二次再摸到红球的概率是 24 = 12。
不放回的意思就是总数和红球数都少了一个。这里最容易错的是分母仍然写 5，那算的是放回的情形。
3
两次都是红球的概率 P = 35 × 12 = 310。
分步完成的事件，概率相乘。也可以数结果，5 个球有序摸两个共 5 × 4 = 20 种，两次都红的有 3 × 2 = 6 种，620 = 310，两种算法对得上。
4
颜色不同分红白和白红两种走法。P = 35 × 24 + 25 × 34 = 310 + 310 = 35。
两种走法互不重叠，概率相加。漏掉白红那一支是这一问的高频错，画树状图就不容易漏。
答案
两次都是红球的概率为 310，两次颜色不同的概率为 35。
容易错在哪
按放回算成 35 × 35 = 925 是最常见的错。第二问只算红白一种走法、漏掉白红，也很常见。稳妥的办法是画树状图，第一层三红两白，第二层在剩下的 4 个里分，把 20 条路径摆出来数，比心算可靠。
如果改成有放回地摸两次，这两问的答案各是多少。（有放回时两次都是 5 个球里挑，两次都红为 35 × 35 = 925，颜色不同为 2 × 35 × 25 = 1225。）
讲完了，测一测
统计与概率
12 题
→
统计与概率 12 道，平均数中位数方差、统计图表、概率各一组
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
