相似三角形的三个基本模型：A 字型、X 字型、一线三等角
题量 3 道
分量 上海中考 23 题证明题必考
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怎么用这一页
1先看「开做之前」里的几条，想不起来的翻回课本，别带着漏洞往下做。
2每道题先自己动笔算，草稿纸上写完再点「看解答」。看着答案想「我也会」是最骗人的感觉。
3对完答案看「容易错在哪」，再做一遍下面的变式，能独立做出来才算过。
开做之前，这几条要能直接说出来
·判定有三条，两角对应相等的两个三角形相似（最常用）、两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例。第一条最常用。
·写相似式子时字母顺序必须对应。△ABD ∽ △DCE 意味着 A↔D、B↔C、D↔E，比例式一律照这个顺序写，写乱了后面全错。
·A 字型指 DE ∥ BC，D 在 AB 上、E 在 AC 上，则 △ADE ∽ △ABC。对应边是 AD : AB，分母是整条边，不是剩下那段。
·X 字型指 AB ∥ CD，两条线段交于 O，则 △AOB ∽ △COD。
·一线三等角指同一条直线上出现三个相等的角，中间那个角的两边分别与两侧构成一对相似三角形。这是压轴题里出现频率最高的一个模型。
例 1
基础
在 △ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，且 DE ∥ BC。已知 AD = 2，DB = 3，DE = 4。求 BC 的长。
图 · 例 1
先想三分钟。这是 A 字型。写比例式之前先想清楚，跟 DE 对应的是 BC，那么跟 AD 对应的是哪条边？
先自己算，把结果填进来
BC
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
由 DE ∥ BC 得 ∠ADE = ∠ABC，∠AED = ∠ACB，所以 △ADE ∽ △ABC。
平行给的是同位角相等，两角对应相等就能判定相似。这一步在证明题里必须写出来，直接说「由平行得相似」要扣步骤分。
2
AB = AD + DB = 2 + 3 = 5。
对应边里跟 AD 配对的是整条 AB，不是 DB。这一步单独算出来，就是为了不让自己在写比例式时顺手写成 AD : DB。
3
由相似得 ADAB = DEBC，即 25 = 4BC。
两个三角形的对应边之比处处相等。写的时候上下都取小三角形在上、大三角形在下，顺序统一就不会串行。
4
交叉相乘得 2 · BC = 20，BC = 10。
解比例。
答案
BC = 10。
容易错在哪
把比例式写成 AD : DB = DE : BC，也就是 2 : 3 = 4 : BC，算出 BC = 6。AD 和 DB 不在同一个三角形里，构不成对应边。A 字型的分母永远是整条边。
同样的图，改成已知 AD = 2、AB = 5、AE = 3，求 EC。（AD : AB = AE : AC，得 AC = 7.5，EC = AC − AE = 4.5。注意问的是 EC 不是 AC，要多减一步。）
例 2
中档
如图，AB ∥ CD，AC 与 BD 相交于点 O。已知 AB = 4，CD = 6，AO = 3。求 AC 的长。
图 · 例 2
先想三分钟。这是 X 字型。AC 被 O 分成两段，题目给的是其中一段，另一段要靠相似求。
先自己算，把结果填进来
AC
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
由 AB ∥ CD 得 ∠BAO = ∠DCO（内错角），又 ∠AOB = ∠COD（对顶角），所以 △AOB ∽ △COD。
X 字型给的是内错角加对顶角，两组角相等，判定成立。写清楚角的来历是证明题的得分点。
2
由相似得 AOCO = ABCD = 46 = 23。
相似比可以从任意一组对应边算出来。这里 AB 和 CD 都是已知的，先把相似比定下来最省事。
3
由 AO = 3 及 3CO = 23 得 CO = 4.5。
相似比已知，任意一段都能推另一段。
4
AC = AO + CO = 3 + 4.5 = 7.5。
O 在 AC 上，两段相加就是整条。题目问的是 AC，算到 CO 就停会丢分。
答案
AC = 7.5。
容易错在哪
相似比写反，得到 CO = 2。定完相似比先粗判一下方向，CD 比 AB 长，所以 CO 也该比 AO 长，算出 CO = 2 一眼就知道反了。这个「先估方向再算」的习惯能挡掉大半的比例题错误。
同图，已知 AB = 4、CD = 6、BD = 10，求 BO。（相似比仍是 2 : 3，BO : OD = 2 : 3，BO = 10 × 25 = 4。已知整条求其中一段，用份数算比列方程快。）
例 3
压轴
等边三角形 ABC 的边长为 6，点 D 在边 BC 上且 BD = 2，点 E 在边 AC 上，且 ∠ADE = 60°。求 CE 的长。
图 · 例 3
先想三分钟。∠B、∠ADE、∠C 三个角都等于 60°，而且顶点 B、D、C 在同一条直线上。这就是一线三等角。
先自己算，把结果填进来
CE
写最简形式，分数写成 3/2 这样
1
在 △ABD 中，∠BAD + ∠ADB = 180° − ∠B = 120°。
三角形内角和。把 ∠BAD 用 ∠ADB 表示出来，为下一步找相等的角做准备。
2
在直线 BC 上，∠ADB + ∠ADE + ∠EDC = 180°，而 ∠ADE = 60°，所以 ∠ADB + ∠EDC = 120°。
平角拆成三个角，这是一线三等角模型的核心一步。两个 120° 的式子摆在一起，相等的角就出来了。
3
两式相减得 ∠BAD = ∠EDC。又 ∠B = ∠C = 60°，所以 △ABD ∽ △DCE。
两角对应相等。注意字母顺序，A 对 D、B 对 C、D 对 E，是由「∠BAD = ∠EDC 且 ∠B = ∠C」定下来的，不能凭图上位置乱写。
4
DC = BC − BD = 6 − 2 = 4。由相似得 ABDC = BDCE，即 64 = 2CE。
按 △ABD ∽ △DCE 的对应关系，AB 配 DC，BD 配 CE。写之前把对应字母竖着对一遍，这一步写对了题就做完了。
5
交叉相乘得 6 · CE = 8，CE = 43。
解比例。
答案
CE = 43。
容易错在哪
对应关系写成 △ABD ∽ △DEC，比例式跟着错。判断对应看的是角，不是图上谁挨着谁。已经证出 ∠BAD = ∠EDC，那么 A 就对 D，顺着写下去自然是 B 对 C、D 对 E。另一处是漏算 DC，直接拿 BD 或 BC 去配。
把等边三角形换成 AB = AC 的等腰三角形，∠B = ∠C = 50°，条件里的 ∠ADE 相应改成 50°，其余不变，结论还成立吗？（成立。上面五步里没有一步用到「60°」这个具体数值，用到的只是三个角相等。把 60° 换成任意角 α 重推一遍，这个模型才算真的会了。）
讲完了，测一测
相似三角形与平面向量
8 题
→
相似三角形与平面向量 8 道，判定、性质、综合各一组
题库里填了答案当场判对错，做错的自动进错题本。在这边做过的题也算数，不用做两遍。
