图形运动（平移 · 旋转 · 翻折）

【坐标平移规律】左减右加（改横坐标），上加下减（改纵坐标）。

（1）
向右 3：横坐标 -2 + 3 = 1
向下 4：纵坐标 3 - 4 = -1
平移后为 (1, -1)

（2）先求平移方式
A(1, 2) → A′(4, 0)：横坐标 +3，纵坐标 -2
即向右平移 3、向下平移 2。同一次平移，所有点走法完全相同
B(-1, 3) → B′(-1 + 3, 3 - 2) = (2, 1)

（3）平移的性质
① 平移不改变图形的形状和大小（平移前后的图形全等）；
② 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等；
③ 对应线段平行且相等，对应角相等。

易错提醒：平移只由「方向 + 距离」决定，和图形放在哪里无关。（2）这类题一定要先由一组对应点算出平移量，再套到其他点上。

【口诀】上加下减（加在末尾），左加右减（加在 x 上）。

（1）
向上平移 3：y = 2x - 1 + 3 = y = 2x + 2
向右平移 2：把 x 换成 (x - 2)
y = 2(x - 2) - 1 = y = 2x - 5
检查：原直线过 (0, -1)，右移 2 后过 (2, -1)，代入 y = 2x - 5 得 4 - 5 = -1 ✓

（2）向左 1：x 换成 (x + 1)；向上 3：末尾加 3
y = -2(x + 1)² + 3（顶点由 (0, 0) 移到 (-1, 3)）

（3）顶点式 y = a(x - h)² + k 的顶点是 (h, k)
y = -2(x - 1)² + 3 的顶点是 (1, 3)，原抛物线顶点是 (0, 0)
∴ 由 y = -2x² 向右平移 1 个单位、再向上平移 3 个单位得到

易错提醒：「左加右减」是加在自变量 x 上，很多同学写成 y = -2x² + 1，那是上下平移。判断平移最稳的办法：盯住顶点跑到哪里去了。

【（1）】绕原点旋转 180° 就是关于原点中心对称，横纵坐标都变号
P(3, 2) → (-3, -2)

【（2）思路：用旋转「搬」线段】要证的 BE 和 DF 分散在两边，把其中一段转过去拼成一整条，就能和 EF 比较。

【作法】把 △ABE 绕点 A 顺时针旋转 90°，由于 AB = AD、∠ABE = ∠ADC = 90°，点 B 落到点 D，设点 E 落到点 G，则 G 在 CD 的延长线上，且
AG = AE，DG = BE，∠DAG = ∠BAE

【证明 △AGF ≌ △AEF】
∵ ∠BAD = 90°，∠EAF = 45°
∴ ∠BAE + ∠DAF = 90° - 45° = 45°
∴ ∠GAF = ∠DAG + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = 45° = ∠EAF
在 △AGF 和 △AEF 中：
AG = AE，∠GAF = ∠EAF，AF = AF（公共边）
∴ △AGF ≌ △AEF（SAS）
∴ GF = EF

【得出结论】
GF = GD + DF = BE + DF
∴ EF = BE + DF

易错提醒：这是「半角模型」的标准解法，见到正方形 + 一半的角（45°）就往旋转上想。旋转后一定要说明三件事：转过多少度、哪个点落到哪里、哪些量保持不变。

【思路】三条线段各在一处凑不成三角形，用旋转把它们「集中」到一个三角形里。

【作法】把 △BPA 绕点 B 旋转 60°，使 BA 与 BC 重合（等边三角形 ∠ABC = 60°，所以点 A 恰好落到点 C），设点 P 落到点 P′。

【旋转带来的不变量】
BP′ = BP = 4，P′C = PA = 3，∠BP′C = ∠BPA（全等对应角）
∠PBP′ = 60°（旋转角）

【第一步：△BPP′ 是等边三角形】
∵ BP = BP′ = 4 且 ∠PBP′ = 60°
∴ △BPP′ 为等边三角形，∴ PP′ = 4，∠BP′P = 60°

【第二步：△PP′C 是直角三角形】
PP′ = 4，P′C = 3，PC = 5
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²
由勾股定理的逆定理，∠PP′C = 90°

【第三步：合起来】
∠BP′C = ∠BP′P + ∠PP′C = 60° + 90° = 150°
而 ∠APB = ∠BP′C
∴ ∠APB = 150°

易错提醒：旋转角要取图形本身的特征角（等边取 60°、正方形取 90°），这样才能保证一条边正好落到另一条边上。3、4、5 这组数据是在暗示勾股逆定理，看到就该往那边想。

【翻折的关键】折叠前后全等 ⟹ EB = ED（E 到 B、D 距离相等），折痕就是 BD 的垂直平分线。

【求 AE：设未知数 + 勾股定理】
设 AE = x，则 EB = AB - AE = 8 - x
折叠后 B 与 D 重合，∴ ED = EB = 8 - x

在 Rt△AED 中（∠A = 90°，AD = BC = 4）：
AE² + AD² = ED²
x² + 4² = (8 - x)²
x² + 16 = 64 - 16x + x²
16x = 48
x = 3，即 AE = 3（此时 EB = ED = 5）

【求 EF】由对称性，同理可得 CF = 3、DF = 5。
作 EH ⊥ CD 于 H，则 EH = AD = 4，
HF = DF - DH = DF - AE = 5 - 3 = 2
在 Rt△EHF 中：
EF = √(EH² + HF²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

【验算】AE = 3、AD = 4、ED = 5 是一组勾股数 ✓

易错提醒：折叠题的通法是「设未知数 → 找相等线段 → 在直角三角形里用勾股定理列方程」。最容易忘的是把折叠后相等的那条边标出来（本题的 ED = EB），标错就列不出方程。

【第一步：标出折叠后的不变量】
AC′ = AC = 6，DC′ = DC，∠AC′D = ∠C = 90°

【第二步：求 BC′】先用勾股定理求斜边
AB = √(6² + 8²) = √100 = 10
BC′ = AB - AC′ = 10 - 6 = 4

【第三步：设未知数列方程】
设 CD = x，则 DC′ = x，BD = BC - CD = 8 - x
∵ ∠AC′D = 90°，∴ ∠BC′D = 90°
在 Rt△BC′D 中：
BC′² + DC′² = BD²
4² + x² = (8 - x)²
16 + x² = 64 - 16x + x²
16x = 48
x = 3

【答】CD = 3（此时 BD = 5，验算：4² + 3² = 25 = 5² ✓）

易错提醒：∠AC′D = 90° 是折叠带过去的角，由它才能得到 ∠BC′D = 90°，这一步不写清楚，后面的勾股定理就没有依据。折叠题的等量关系全在「对应边相等、对应角相等」这两句话里。

【先配方找顶点】
y = x² - 2x + 3 = (x² - 2x + 1) + 2 = (x - 1)² + 2
顶点 (1, 2)，开口向上。

【（1）关于 x 轴对称】把 y 换成 -y（顶点变 (1, -2)，开口翻向下）
-y = (x - 1)² + 2
y = -(x - 1)² - 2 = -x² + 2x - 3
检查：x = 1 时 y = -1 + 2 - 3 = -2 ✓

【（2）关于 y 轴对称】把 x 换成 -x（顶点变 (-1, 2)，开口不变）
y = (-x - 1)² + 2 = (x + 1)² + 2
y = x² + 2x + 3
检查：x = -1 时 y = 1 - 2 + 3 = 2 ✓

【（3）绕原点旋转 180°】相当于关于原点中心对称，x、y 都换成相反数
顶点变 (-1, -2)，开口向下
y = -(x + 1)² - 2 = -x² - 2x - 3
检查：x = -1 时 y = -1 + 2 - 3 = -2 ✓

易错提醒：三种变换记住「变什么」：关于 x 轴对称变 y 的符号，关于 y 轴对称变 x 的符号，中心对称两个都变。每做完一个都用顶点坐标代回去验一遍，几秒钟就能查出错。

【第一步：看清重叠部分是什么形状】
平移方向与 BC 平行，两个三角形的底边在同一条直线上。
重叠部分由原三角形的边 AC 和新三角形的边 DE 围成，
而 DE ∥ AB、AC 方向不变，所以重叠部分仍是等边三角形。

【第二步：求它的边长】
重叠三角形的底边是 EC：
BE = t（平移距离），BC = 6
EC = BC - BE = 6 - t

【第三步：用边长求面积】边长为 a 的等边三角形
高 = (√3/2)a，面积 = ½ · a · (√3/2)a = (√3/4)a²

把 a = 6 - t 代入：
S = (√3/4)(6 - t)²（0 ≤ t ﹤ 6）

【验算两个端点】
t = 0：两个三角形完全重合，S = (√3/4) × 36 = 9√3，正好是边长 6 的等边三角形面积 ✓
t → 6：S → 0，两个三角形只剩一个公共点 ✓

易错提醒：平移类面积题的套路：先判断重叠部分的形状（往往与原图形相似），再把它的边长用 t 表示。别忘了写取值范围，t = 6 时重叠部分退化成一个点，面积为 0，所以这里取不到 6。