数学例题精练：函数
函数是上海中考数学的核心板块，从选择填空到最后的压轴大题都会出现。本篇整理了 8 道典型例题，覆盖一次函数、反比例函数、二次函数和函数综合，每题附完整的解题步骤。建议先自己做，做完再展开看解析。
一、一次函数
点击查看解题过程 ▾
∵ 图像经过 A(2, 5)，代入 y = kx + b：
2k + b = 5 ……①
∵ 图像经过 B(-1, -1)，代入 y = kx + b：
-k + b = -1 ……②
① - ②：2k + b - (-k + b) = 5 - (-1)
3k = 6，∴ k = 2
把 k = 2 代入 ②：-2 + b = -1，∴ b = 1
∴ 一次函数的解析式为 y = 2x + 1
（1）写出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）行驶 10 公里需要多少钱？
点击查看解题过程 ▾
（1）求函数关系式
当 x > 3 时，超出部分的路程为 (x - 3) 公里
超出部分费用 = 2.5 × (x - 3) 元
∴ y = 14 + 2.5(x - 3) = 14 + 2.5x - 7.5
∴ y = 2.5x + 6.5（x > 3）
（2）求行驶 10 公里的费用
把 x = 10 代入 y = 2.5x + 6.5：
y = 2.5 × 10 + 6.5 = 25 + 6.5 = 31.5
∴ 行驶 10 公里需要 31.5 元。
二、反比例函数
（1）求 k 的值及函数解析式；
（2）判断点 (-2, -6) 是否在这个函数的图像上。
点击查看解题过程 ▾
（1）求 k 和函数解析式
∵ 图像经过 (3, 4)，代入 y = k/x：
4 = k/3，∴ k = 3 × 4 = 12
∴ 函数解析式为 y = 12/x
（2）判断点 (-2, -6) 是否在图像上
把 x = -2 代入 y = 12/x：
y = 12/(-2) = -6
∴ 点 (-2, -6) 在该函数的图像上。
点击查看解题过程 ▾
设 P(a, b) 在反比例函数 y = 6/x 的图像上（第一象限，a > 0，b > 0）
∴ b = 6/a，即 ab = 6
过 P 作 x 轴的垂线，垂足 M(a, 0)
过 P 作 y 轴的垂线，垂足 N(0, b)
矩形 OMPN 的长为 OM = a，宽为 ON = b
∴ S矩形OMPN = a × b = ab = 6
∴ 矩形 OMPN 的面积为 6。（注意：无论 P 在双曲线上哪个位置，面积都等于 |k|）
三、二次函数
点击查看解题过程 ▾
y = 2x² - 8x + 5
先提取 x² 项系数：
= 2(x² - 4x) + 5
括号内配方（取一次项系数 -4 的一半 -2，再平方得 4）：
= 2(x² - 4x + 4 - 4) + 5
= 2(x - 2)² - 2 × 4 + 5
= 2(x - 2)² - 8 + 5
= 2(x - 2)² - 3
∴ 顶点式为 y = 2(x - 2)² - 3
顶点坐标为 (2, -3)，对称轴方程为 x = 2。
（1）求足球达到最大高度时的时间和最大高度；
（2）足球从踢出到落地共经过多少秒？
点击查看解题过程 ▾
（1）求最大高度
h = -5t² + 10t
= -5(t² - 2t)
= -5(t² - 2t + 1 - 1)
= -5(t - 1)² + 5
∵ a = -5 < 0，抛物线开口向下
∴ 当 t = 1 秒时，h 取最大值 5 米。
（2）求落地时间
落地时 h = 0：
-5t² + 10t = 0
-5t(t - 2) = 0
∴ t = 0 或 t = 2
t = 0 为踢出时刻，t = 2 为落地时刻
∴ 足球从踢出到落地共经过 2 秒。
四、函数综合
（1）求 a 和 k 的值；
（2）求直线与反比例函数图像的另一个交点 B 的坐标。
点击查看解题过程 ▾
（1）求 a 和 k
∵ A(2, a) 在直线 y = x + 1 上
∴ a = 2 + 1 = 3，即 A(2, 3)
∵ A(2, 3) 在反比例函数 y = k/x 上
∴ k = 2 × 3 = 6
（2）求另一个交点 B
联立 y = x + 1 与 y = 6/x：
x + 1 = 6/x
两边乘 x（x ≠ 0）：x(x + 1) = 6
x² + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
∴ x = -3 或 x = 2
x = 2 对应已知的点 A
当 x = -3 时，y = -3 + 1 = -2
∴ 另一个交点 B(-3, -2)。
（1）求 A、B、C 三点的坐标；
（2）求该抛物线的顶点坐标和对称轴方程；
（3）求 △ABC 的面积。
点击查看解题过程 ▾
（1）求 A、B、C 的坐标
与 x 轴的交点，令 y = 0：
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
∴ x = -1 或 x = 3
∵ A 在 B 左侧，∴ A(-1, 0)，B(3, 0)
与 y 轴的交点，令 x = 0：
y = 0 - 0 - 3 = -3，∴ C(0, -3)
（2）求顶点坐标和对称轴
y = x² - 2x - 3
= (x² - 2x + 1) - 1 - 3
= (x - 1)² - 4
∴ 顶点坐标为 (1, -4)，对称轴方程为 x = 1。
（3）求 △ABC 的面积
A(-1, 0) 和 B(3, 0) 都在 x 轴上
∴ 以 AB 为底：AB = 3 - (-1) = 4
C(0, -3) 到 x 轴的距离 = |-3| = 3
S△ABC = (1/2) × AB × h = (1/2) × 4 × 3 = 6
∴ △ABC 的面积为 6。
