初中辅导
数学例题精练：勾股定理与锐角三角比
方拓 · 2026 年 8 月 14 日
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勾股定理和锐角三角比是「图形与几何」里最讲计算的一块：前者把边长关系算出来，后者把角和边连起来。中考里它们既单独考（解直角三角形、测高测距应用题），也大量出现在四边形、圆和压轴题的中间步骤。下面 8 道例题按「勾股 → 三角比 → 解直角三角形 → 应用」排列。
一、勾股定理及其逆定理
例题 1
（1）直角三角形两直角边分别为 6 和 8，求斜边。
（2）直角三角形斜边为 13，一条直角边为 5，求另一条直角边。
（3）一个直角三角形的两边长分别是 3 和 4，求第三边。
（4）等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，求它的面积。
（2）直角三角形斜边为 13，一条直角边为 5，求另一条直角边。
（3）一个直角三角形的两边长分别是 3 和 4，求第三边。
（4）等腰三角形的腰长为 5，底边长为 6，求它的面积。
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【勾股定理】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a² + b² = c²
（1）c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10
（2）另一直角边 b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 → b = 12
（3）没说哪条是斜边，必须分类讨论：
① 若 3、4 都是直角边：第三边（斜边）= √(9 + 16) = 5
② 若 4 是斜边、3 是直角边：第三边 = √(16 - 9) = √7
（3 不可能是斜边，斜边最长）
所以第三边是 5 或 √7
（4）等腰三角形作底边上的高，高同时也是底边中线
半底 = 3，腰 = 5
高 h = √(5² - 3²) = √16 = 4
面积 = ½ × 6 × 4 = 12
易错提醒：（3）是最经典的陷阱题：题目只说「两边」而没说是不是直角边，漏掉 √7 这一种情况直接扣一半分。看到「两边」两个字就要警觉。
（1）c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → c = 10
（2）另一直角边 b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144 → b = 12
（3）没说哪条是斜边，必须分类讨论：
① 若 3、4 都是直角边：第三边（斜边）= √(9 + 16) = 5
② 若 4 是斜边、3 是直角边：第三边 = √(16 - 9) = √7
（3 不可能是斜边，斜边最长）
所以第三边是 5 或 √7
（4）等腰三角形作底边上的高，高同时也是底边中线
半底 = 3，腰 = 5
高 h = √(5² - 3²) = √16 = 4
面积 = ½ × 6 × 4 = 12
易错提醒：（3）是最经典的陷阱题：题目只说「两边」而没说是不是直角边，漏掉 √7 这一种情况直接扣一半分。看到「两边」两个字就要警觉。
例题 2
（1）一架 5 米长的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙 3 米。若梯子底端向外滑动 1 米，梯子顶端下滑了多少米？
（2）判断以下列长度为边的三角形是不是直角三角形：
① 5、12、13 ② 4、5、6 ③ 1、1、√2
（2）判断以下列长度为边的三角形是不是直角三角形：
① 5、12、13 ② 4、5、6 ③ 1、1、√2
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【（1）先算原来的高度】
h₁ = √(5² - 3²) = √16 = 4（米）
【底端外移后】离墙 3 + 1 = 4 米，梯长不变仍是 5 米
h₂ = √(5² - 4²) = √9 = 3（米）
【下滑距离】
4 - 3 = 1（米）
【（2）勾股定理的逆定理】若最长边的平方等于另两边平方和，则是直角三角形
① 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ 是直角三角形
② 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ≠ 36 = 6² ✗ 不是
③ 1² + 1² = 2 = (√2)² ✓ 是（等腰直角三角形）
易错提醒：（1）里「底端外移 1 米」和「顶端下滑 1 米」数值碰巧相等，是这道题的巧合，不是规律 —— 换个数字就不一样了，必须老老实实算两次。（2）里判定前先找出最长的那条边。
h₁ = √(5² - 3²) = √16 = 4（米）
【底端外移后】离墙 3 + 1 = 4 米，梯长不变仍是 5 米
h₂ = √(5² - 4²) = √9 = 3（米）
【下滑距离】
4 - 3 = 1（米）
【（2）勾股定理的逆定理】若最长边的平方等于另两边平方和，则是直角三角形
① 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ✓ 是直角三角形
② 4² + 5² = 16 + 25 = 41 ≠ 36 = 6² ✗ 不是
③ 1² + 1² = 2 = (√2)² ✓ 是（等腰直角三角形）
易错提醒：（1）里「底端外移 1 米」和「顶端下滑 1 米」数值碰巧相等，是这道题的巧合，不是规律 —— 换个数字就不一样了，必须老老实实算两次。（2）里判定前先找出最长的那条边。
二、锐角三角比
例题 3
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3，BC = 4。
求 sinA、cosA、tanA、cotA 的值，并说明 sinA 与 cosB 的关系。
求 sinA、cosA、tanA、cotA 的值，并说明 sinA 与 cosB 的关系。
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【先求斜边】AB = √(3² + 4²) = 5
【四个三角比的定义】（都是相对于 ∠A 而言）
sinA = ∠A 的对边 / 斜边 = BC/AB = 4/5
cosA = ∠A 的邻边 / 斜边 = AC/AB = 3/5
tanA = 对边 / 邻边 = BC/AC = 4/3
cotA = 邻边 / 对边 = AC/BC = 3/4
【同角关系】
sin²A + cos²A = 16/25 + 9/25 = 1 ✓
tanA · cotA = 4/3 × 3/4 = 1 ✓
tanA = sinA / cosA = (4/5)/(3/5) = 4/3 ✓
【互余关系】∠A + ∠B = 90°
cosB = BC/AB = 4/5 = sinA
即 sinA = cosB（一个角的正弦等于它余角的余弦），同理 tanA = cotB
易错提醒：三角比是比值，没有单位，也与三角形大小无关（把三边同时放大 2 倍，sinA 不变）。定对边邻边时要盯住是哪个角，换个角对边邻边就互换了。
【四个三角比的定义】（都是相对于 ∠A 而言）
sinA = ∠A 的对边 / 斜边 = BC/AB = 4/5
cosA = ∠A 的邻边 / 斜边 = AC/AB = 3/5
tanA = 对边 / 邻边 = BC/AC = 4/3
cotA = 邻边 / 对边 = AC/BC = 3/4
【同角关系】
sin²A + cos²A = 16/25 + 9/25 = 1 ✓
tanA · cotA = 4/3 × 3/4 = 1 ✓
tanA = sinA / cosA = (4/5)/(3/5) = 4/3 ✓
【互余关系】∠A + ∠B = 90°
cosB = BC/AB = 4/5 = sinA
即 sinA = cosB（一个角的正弦等于它余角的余弦），同理 tanA = cotB
易错提醒：三角比是比值，没有单位，也与三角形大小无关（把三边同时放大 2 倍，sinA 不变）。定对边邻边时要盯住是哪个角，换个角对边邻边就互换了。
例题 4
（1）计算：sin30° + cos45° · tan60°
（2）计算：2sin60° - tan45° + cos²30°
（3）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 2cosA - √2 = 0，求 ∠A；若 tanB = √3，求 ∠B。
（2）计算：2sin60° - tan45° + cos²30°
（3）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 2cosA - √2 = 0，求 ∠A；若 tanB = √3，求 ∠B。
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【特殊角三角比表（务必背熟）】
sin30° = 1/2，sin45° = √2/2，sin60° = √3/2
cos30° = √3/2，cos45° = √2/2，cos60° = 1/2
tan30° = √3/3，tan45° = 1，tan60° = √3
【（1）】
= 1/2 + (√2/2) × √3
= 1/2 + √6/2
= (1 + √6)/2
【（2）】注意 cos²30° 表示 (cos30°)²
= 2 × √3/2 - 1 + (√3/2)²
= √3 - 1 + 3/4
= √3 - 1/4
【（3）由三角比反推角】
2cosA - √2 = 0 → cosA = √2/2 → ∠A = 45°
tanB = √3 → ∠B = 60°
易错提醒：cos²30° 是先取值再平方，不是 cos(30²)；另外 sin30° = 1/2 与 sin60° = √3/2 极易记反 —— 记住角越大正弦越大就不会错。
sin30° = 1/2，sin45° = √2/2，sin60° = √3/2
cos30° = √3/2，cos45° = √2/2，cos60° = 1/2
tan30° = √3/3，tan45° = 1，tan60° = √3
【（1）】
= 1/2 + (√2/2) × √3
= 1/2 + √6/2
= (1 + √6)/2
【（2）】注意 cos²30° 表示 (cos30°)²
= 2 × √3/2 - 1 + (√3/2)²
= √3 - 1 + 3/4
= √3 - 1/4
【（3）由三角比反推角】
2cosA - √2 = 0 → cosA = √2/2 → ∠A = 45°
tanB = √3 → ∠B = 60°
易错提醒：cos²30° 是先取值再平方，不是 cos(30²)；另外 sin30° = 1/2 与 sin60° = √3/2 极易记反 —— 记住角越大正弦越大就不会错。
三、解直角三角形
例题 5
（1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，斜边 AB = 10，求 ∠B 和另外两边。
（2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，tanA = 3/4，AB = 10，求 AC、BC。
（2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，tanA = 3/4，AB = 10，求 AC、BC。
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【（1）已知一角一边】
∠B = 90° - 30° = 60°
BC（∠A 的对边）= AB · sinA = 10 × 1/2 = 5
AC（∠A 的邻边）= AB · cosA = 10 × √3/2 = 5√3
【验算】5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10² ✓
【（2）已知三角比和斜边，用设 k 法】
tanA = BC/AC = 3/4，设 BC = 3k，AC = 4k（k ﹥ 0）
由勾股定理：(3k)² + (4k)² = 10²
25k² = 100 → k² = 4 → k = 2
∴ BC = 6，AC = 8
【验算】tanA = 6/8 = 3/4 ✓；6² + 8² = 100 ✓
易错提醒：边和角的对应关系要盯准：sinA 用的是 ∠A 的对边。已知三角比求边时用设 k 法最稳，直接猜「三边就是 3、4、5」在斜边不是 5 的倍数时会翻车。
∠B = 90° - 30° = 60°
BC（∠A 的对边）= AB · sinA = 10 × 1/2 = 5
AC（∠A 的邻边）= AB · cosA = 10 × √3/2 = 5√3
【验算】5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10² ✓
【（2）已知三角比和斜边，用设 k 法】
tanA = BC/AC = 3/4，设 BC = 3k，AC = 4k（k ﹥ 0）
由勾股定理：(3k)² + (4k)² = 10²
25k² = 100 → k² = 4 → k = 2
∴ BC = 6，AC = 8
【验算】tanA = 6/8 = 3/4 ✓；6² + 8² = 100 ✓
易错提醒：边和角的对应关系要盯准：sinA 用的是 ∠A 的对边。已知三角比求边时用设 k 法最稳，直接猜「三边就是 3、4、5」在斜边不是 5 的倍数时会翻车。
例题 6
小明想测量学校旗杆的高度。他在离旗杆底部 20 米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 60°，测角仪高 1.5 米。求旗杆的高度（√3 ≈ 1.732，结果精确到 0.1 米）。
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【第一步：画图建模】把实际问题转成直角三角形
设测角仪在 D 处，视线与旗杆交于 A，过 D 作水平线交旗杆于 E。
则 DE = 20（水平距离），∠ADE = 60°（仰角），旗杆下段 BE = 测角仪高 = 1.5。
【第二步：在 Rt△ADE 中求 AE】
tan∠ADE = AE / DE
AE = DE · tan60° = 20 × √3 = 20√3
≈ 20 × 1.732 = 34.64（米）
【第三步：加上测角仪高度】
旗杆高 = AE + BE = 34.64 + 1.5 = 36.14
≈ 36.1（米）
【答】旗杆高约 36.1 米。
易错提醒：仰角是视线与水平线的夹角，不是与旗杆的夹角；算完千万别忘了把测角仪（或人眼）的高度加回去 —— 这是应用题最常丢的 1 分。
设测角仪在 D 处，视线与旗杆交于 A，过 D 作水平线交旗杆于 E。
则 DE = 20（水平距离），∠ADE = 60°（仰角），旗杆下段 BE = 测角仪高 = 1.5。
【第二步：在 Rt△ADE 中求 AE】
tan∠ADE = AE / DE
AE = DE · tan60° = 20 × √3 = 20√3
≈ 20 × 1.732 = 34.64（米）
【第三步：加上测角仪高度】
旗杆高 = AE + BE = 34.64 + 1.5 = 36.14
≈ 36.1（米）
【答】旗杆高约 36.1 米。
易错提醒：仰角是视线与水平线的夹角，不是与旗杆的夹角；算完千万别忘了把测角仪（或人眼）的高度加回去 —— 这是应用题最常丢的 1 分。
四、坡度与综合应用
例题 7
一段拦水坝的横断面是梯形，坝高 6 米。
（1）迎水坡 AB 的坡度 i = 1 : √3，求坡角 ∠A 和坡面 AB 的长；
（2）背水坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.4，求它的水平宽度和坡面长。
（1）迎水坡 AB 的坡度 i = 1 : √3，求坡角 ∠A 和坡面 AB 的长；
（2）背水坡 CD 的坡度 i = 1 : 2.4，求它的水平宽度和坡面长。
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【坡度的定义】坡度 i = 铅垂高度 : 水平宽度 = tan(坡角)
写成 1 : m 的形式时，坡角的正切值就是 1/m。
【（1）】i = 1 : √3 → tanA = 1/√3 = √3/3
∴ 坡角 ∠A = 30°
水平宽度 = 6 × √3 = 6√3（米）
坡面长 AB = √(6² + (6√3)²) = √(36 + 108) = √144 = 12（米）
（也可以用 AB = 坝高 ÷ sin30° = 6 ÷ 0.5 = 12 ✓）
【（2）】i = 1 : 2.4，铅垂高 6 米
水平宽度 = 6 × 2.4 = 14.4（米）
坡面长 CD = √(6² + 14.4²) = √(36 + 207.36) = √243.36 = 15.6（米）
易错提醒：坡度是「垂直 : 水平」，别把两者写反；i = 1 : 2.4 指的是比值不是坡角度数，而且坡度越大坡越陡（1 : 1 比 1 : 2.4 陡）。
写成 1 : m 的形式时，坡角的正切值就是 1/m。
【（1）】i = 1 : √3 → tanA = 1/√3 = √3/3
∴ 坡角 ∠A = 30°
水平宽度 = 6 × √3 = 6√3（米）
坡面长 AB = √(6² + (6√3)²) = √(36 + 108) = √144 = 12（米）
（也可以用 AB = 坝高 ÷ sin30° = 6 ÷ 0.5 = 12 ✓）
【（2）】i = 1 : 2.4，铅垂高 6 米
水平宽度 = 6 × 2.4 = 14.4（米）
坡面长 CD = √(6² + 14.4²) = √(36 + 207.36) = √243.36 = 15.6（米）
易错提醒：坡度是「垂直 : 水平」，别把两者写反；i = 1 : 2.4 指的是比值不是坡角度数，而且坡度越大坡越陡（1 : 1 比 1 : 2.4 陡）。
例题 8
如图，在 △ABC 中，∠B = 45°，∠C = 30°，AD ⊥ BC 于点 D，AD = 6。
求 BC、AB、AC 的长。
求 BC、AB、AC 的长。
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【通法】非直角三角形里出现两个特殊角，就作高把它拆成两个直角三角形，公共边（这里是 AD）是连接两边的桥梁。
【在 Rt△ABD 中】∠B = 45°
tanB = AD/BD → BD = AD/tan45° = 6/1 = 6
AB = AD/sin45° = 6 ÷ (√2/2) = 12/√2 = 6√2
（也可以直接用等腰直角三角形：BD = AD = 6，AB = √2 · AD = 6√2）
【在 Rt△ACD 中】∠C = 30°
tanC = AD/DC → DC = AD/tan30° = 6 ÷ (√3/3) = 18/√3 = 6√3
AC = AD/sin30° = 6 ÷ (1/2) = 12
【求 BC】
BC = BD + DC = 6 + 6√3 ≈ 6 + 10.39 = 16.39
【验算】在 Rt△ACD 中：6² + (6√3)² = 36 + 108 = 144 = 12² ✓
易错提醒：这类题不能直接对 △ABC 用三角比 —— 它不是直角三角形。另外要看清高的垂足在 BC 上还是在延长线上（本题两个角都是锐角，垂足在内部，BC = BD + DC；若有钝角就要相减）。
【在 Rt△ABD 中】∠B = 45°
tanB = AD/BD → BD = AD/tan45° = 6/1 = 6
AB = AD/sin45° = 6 ÷ (√2/2) = 12/√2 = 6√2
（也可以直接用等腰直角三角形：BD = AD = 6，AB = √2 · AD = 6√2）
【在 Rt△ACD 中】∠C = 30°
tanC = AD/DC → DC = AD/tan30° = 6 ÷ (√3/3) = 18/√3 = 6√3
AC = AD/sin30° = 6 ÷ (1/2) = 12
【求 BC】
BC = BD + DC = 6 + 6√3 ≈ 6 + 10.39 = 16.39
【验算】在 Rt△ACD 中：6² + (6√3)² = 36 + 108 = 144 = 12² ✓
易错提醒：这类题不能直接对 △ABC 用三角比 —— 它不是直角三角形。另外要看清高的垂足在 BC 上还是在延长线上（本题两个角都是锐角，垂足在内部，BC = BD + DC；若有钝角就要相减）。
勾股 · 三角比 · 自查清单
✓只说「两边」没说斜边时，必须分类讨论
✓逆定理判定前先找出最长边
✓三角比认准是哪个角的对边、邻边；比值与三角形大小无关
✓特殊角的值背熟：sin30° = 1/2、tan60° = √3、tan30° = √3/3
✓已知三角比求边用设 k 法，再用勾股定理定出 k
✓仰角俯角是视线与水平线的夹角；测高题最后要加上测量仪器的高
✓坡度 i = 铅垂高 : 水平宽 = tan 坡角，别写反
✓非直角三角形先作高转化，注意垂足在边内还是边外
