初中辅导
数学例题精练：统计与概率
方拓 · 2026 年 8 月 14 日
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「数据整理与概率统计」在中考里分值不算高，却是最容易全对、也最容易因为概念不清而白丢分的一块：中位数忘了先排序、方差公式记混、树状图漏画分支，每一样都是送分变送命。下面 8 道例题覆盖统计量、统计图表、抽样估计和概率计算四部分。
一、平均数、中位数、众数与方差
例题 1
已知一组数据：3、4、4、5、6、8。
求它的平均数、中位数、众数和方差。
求它的平均数、中位数、众数和方差。
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【平均数】所有数据之和 ÷ 个数
(3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 8) ÷ 6 = 30 ÷ 6 = 5
【中位数】先排序（本题已按从小到大排好），再取中间
共 6 个数（偶数个），取中间两个的平均数：
中间两个是第 3 个和第 4 个，即 4 和 5
中位数 = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5
【众数】出现次数最多的数
4 出现 2 次，其余各 1 次
众数 = 4
【方差】每个数据与平均数之差的平方的平均数
s² = [(3-5)² + (4-5)² + (4-5)² + (5-5)² + (6-5)² + (8-5)²] ÷ 6
= (4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 9) ÷ 6
= 16 ÷ 6 = 8/3 ≈ 2.67
易错提醒：求中位数必须先排序，题目给的数据经常是乱序的；数据个数是偶数时取中间两个的平均数。众数可能不止一个，也可能没有。
(3 + 4 + 4 + 5 + 6 + 8) ÷ 6 = 30 ÷ 6 = 5
【中位数】先排序（本题已按从小到大排好），再取中间
共 6 个数（偶数个），取中间两个的平均数：
中间两个是第 3 个和第 4 个，即 4 和 5
中位数 = (4 + 5) ÷ 2 = 4.5
【众数】出现次数最多的数
4 出现 2 次，其余各 1 次
众数 = 4
【方差】每个数据与平均数之差的平方的平均数
s² = [(3-5)² + (4-5)² + (4-5)² + (5-5)² + (6-5)² + (8-5)²] ÷ 6
= (4 + 1 + 1 + 0 + 1 + 9) ÷ 6
= 16 ÷ 6 = 8/3 ≈ 2.67
易错提醒：求中位数必须先排序，题目给的数据经常是乱序的；数据个数是偶数时取中间两个的平均数。众数可能不止一个，也可能没有。
例题 2
（1）甲、乙两名射手 5 次射击成绩（环）如下：
甲：9、9、8、10、9 乙：10、8、9、7、11
分别求平均数和方差，并判断谁的成绩更稳定。
（2）某校规定学期总评 = 平时分 × 30% + 期中 × 30% + 期末 × 40%。小明三项分别是 80、85、90，求他的总评成绩。
甲：9、9、8、10、9 乙：10、8、9、7、11
分别求平均数和方差，并判断谁的成绩更稳定。
（2）某校规定学期总评 = 平时分 × 30% + 期中 × 30% + 期末 × 40%。小明三项分别是 80、85、90，求他的总评成绩。
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【（1）先算平均数】
甲：(9 + 9 + 8 + 10 + 9) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
乙：(10 + 8 + 9 + 7 + 11) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
两人平均数相同，比不出高低，这时候就要看方差。
【算方差】
甲：s² = [0 + 0 + 1 + 1 + 0] ÷ 5 = 0.4
乙：s² = [1 + 1 + 0 + 4 + 4] ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2
【结论】0.4 ﹤ 2，即 s²甲 ﹤ s²乙
方差越小，数据越集中、波动越小，所以甲的成绩更稳定。
【（2）加权平均数】权重就是各部分所占的百分比
总评 = 80 × 30% + 85 × 30% + 90 × 40%
= 24 + 25.5 + 36
= 85.5（分）
易错提醒：「稳定」看方差、「水平高低」看平均数，两者要分开说；方差大小只在平均数相近时才有比较意义。加权平均不是简单地把三个分数相加除以 3。
甲：(9 + 9 + 8 + 10 + 9) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
乙：(10 + 8 + 9 + 7 + 11) ÷ 5 = 45 ÷ 5 = 9
两人平均数相同，比不出高低，这时候就要看方差。
【算方差】
甲：s² = [0 + 0 + 1 + 1 + 0] ÷ 5 = 0.4
乙：s² = [1 + 1 + 0 + 4 + 4] ÷ 5 = 10 ÷ 5 = 2
【结论】0.4 ﹤ 2，即 s²甲 ﹤ s²乙
方差越小，数据越集中、波动越小，所以甲的成绩更稳定。
【（2）加权平均数】权重就是各部分所占的百分比
总评 = 80 × 30% + 85 × 30% + 90 × 40%
= 24 + 25.5 + 36
= 85.5（分）
易错提醒：「稳定」看方差、「水平高低」看平均数，两者要分开说；方差大小只在平均数相近时才有比较意义。加权平均不是简单地把三个分数相加除以 3。
二、统计图表与抽样估计
例题 3
（1）某班共 50 名学生，其中最喜欢篮球的有 20 人。在扇形统计图中，「篮球」这一部分的圆心角是多少度？占百分之几？
（2）某次调查中，某一组的频数是 8，频率是 0.16，求这次调查的总人数；若另一组频率是 0.3，求这一组的频数。
（2）某次调查中，某一组的频数是 8，频率是 0.16，求这次调查的总人数；若另一组频率是 0.3，求这一组的频数。
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【（1）扇形统计图】整个圆是 360°，代表总数
篮球所占比例 = 20 ÷ 50 = 0.4 = 40%
圆心角 = 360° × 0.4 = 144°
【（2）频数与频率】
频率 = 频数 ÷ 总数，所以 总数 = 频数 ÷ 频率
总数 = 8 ÷ 0.16 = 50（人）
另一组频数 = 总数 × 频率 = 50 × 0.3 = 15（人）
【两条检查用的性质】
各组频数之和 = 总数；各组频率之和 = 1（各扇形圆心角之和 = 360°）
易错提醒：圆心角别忘了乘 360 而不是 100；频率是小数（或百分数），频数是人数，两者的单位概念不能混。
篮球所占比例 = 20 ÷ 50 = 0.4 = 40%
圆心角 = 360° × 0.4 = 144°
【（2）频数与频率】
频率 = 频数 ÷ 总数，所以 总数 = 频数 ÷ 频率
总数 = 8 ÷ 0.16 = 50（人）
另一组频数 = 总数 × 频率 = 50 × 0.3 = 15（人）
【两条检查用的性质】
各组频数之和 = 总数；各组频率之和 = 1（各扇形圆心角之和 = 360°）
易错提醒：圆心角别忘了乘 360 而不是 100；频率是小数（或百分数），频数是人数，两者的单位概念不能混。
例题 4
为了解全校 2000 名学生每天课外阅读的时间，学校随机抽取了 100 名学生进行调查，结果显示每天阅读时间不少于 2 小时的有 35 人。
（1）指出本次调查的总体、个体、样本和样本容量；
（2）估计全校每天阅读不少于 2 小时的学生有多少人。
（1）指出本次调查的总体、个体、样本和样本容量；
（2）估计全校每天阅读不少于 2 小时的学生有多少人。
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【（1）四个概念对号入座】
总体：全校 2000 名学生每天课外阅读的时间（是「时间」这些数据的全体，不是学生本身）
个体：每一名学生每天课外阅读的时间
样本：被抽到的 100 名学生每天课外阅读的时间
样本容量：100（只写数字，不带单位）
【（2）用样本估计总体】
样本中的比例 = 35 ÷ 100 = 0.35
估计全校人数 = 2000 × 0.35 = 700（人）
【为什么可以这样估】抽样是随机的，样本有代表性，所以可以用样本中的比例去估计总体中的比例。
易错提醒：总体和个体指的是考察的数据而不是人或物：本题总体是「阅读时间」，答成「全校 2000 名学生」要扣分。样本容量是个数字，不写「100 名学生」。
总体：全校 2000 名学生每天课外阅读的时间（是「时间」这些数据的全体，不是学生本身）
个体：每一名学生每天课外阅读的时间
样本：被抽到的 100 名学生每天课外阅读的时间
样本容量：100（只写数字，不带单位）
【（2）用样本估计总体】
样本中的比例 = 35 ÷ 100 = 0.35
估计全校人数 = 2000 × 0.35 = 700（人）
【为什么可以这样估】抽样是随机的，样本有代表性，所以可以用样本中的比例去估计总体中的比例。
易错提醒：总体和个体指的是考察的数据而不是人或物：本题总体是「阅读时间」，答成「全校 2000 名学生」要扣分。样本容量是个数字，不写「100 名学生」。
三、概率
例题 5
（1）不透明袋中装有 3 个红球和 2 个白球，除颜色外都相同。任意摸出一个球，求摸到红球的概率。
（2）掷一枚均匀骰子一次，求点数大于 4 的概率。
（3）判断下列事件的类型：① 太阳从西边升起；② 掷骰子点数小于 7；③ 明天下雨。
（2）掷一枚均匀骰子一次，求点数大于 4 的概率。
（3）判断下列事件的类型：① 太阳从西边升起；② 掷骰子点数小于 7；③ 明天下雨。
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【等可能事件的概率公式】
P(A) = 事件 A 包含的结果数 ÷ 所有可能结果的总数
（1）共 3 + 2 = 5 个球，摸到每个球的机会均等
P(红球) = 3/5
（2）掷骰子共 6 种等可能结果
点数大于 4 的有 5、6 两种
P = 2/6 = 1/3
（3）事件分类
① 太阳从西边升起：不可能事件，P = 0
② 掷骰子点数小于 7：必然事件，P = 1
③ 明天下雨：随机事件，0 ﹤ P ﹤ 1
易错提醒：用公式的前提是每种结果等可能（球「除颜色外都相同」、骰子「均匀」这些字眼就是在交代这一点）。别把「两种颜色」当成两种等可能结果去算成 1/2 —— 要按球的个数数。
P(A) = 事件 A 包含的结果数 ÷ 所有可能结果的总数
（1）共 3 + 2 = 5 个球，摸到每个球的机会均等
P(红球) = 3/5
（2）掷骰子共 6 种等可能结果
点数大于 4 的有 5、6 两种
P = 2/6 = 1/3
（3）事件分类
① 太阳从西边升起：不可能事件，P = 0
② 掷骰子点数小于 7：必然事件，P = 1
③ 明天下雨：随机事件，0 ﹤ P ﹤ 1
易错提醒：用公式的前提是每种结果等可能（球「除颜色外都相同」、骰子「均匀」这些字眼就是在交代这一点）。别把「两种颜色」当成两种等可能结果去算成 1/2 —— 要按球的个数数。
例题 6
（1）先后掷两枚均匀骰子，求两次点数之和为 7 的概率。
（2）袋中有 3 个红球、2 个白球（除颜色外都相同），不放回地连续摸出两个球，求两个都是红球的概率。
（2）袋中有 3 个红球、2 个白球（除颜色外都相同），不放回地连续摸出两个球，求两个都是红球的概率。
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【（1）用列表法】先后掷两次，共 6 × 6 = 36 种等可能结果。
和为 7 的有：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共 6 种
P = 6/36 = 1/6
【（2）不放回问题：把球编号区分开】
红球记作 红1、红2、红3，白球记作 白1、白2。
第一次有 5 种选择，第二次（不放回）有 4 种，共 5 × 4 = 20 种等可能结果。
两次都摸到红球：第一次 3 种，第二次剩 2 种红球，共 3 × 2 = 6 种
P = 6/20 = 3/10
【另一种算法】逐步相乘
P = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10 ✓
易错提醒：两步事件一定要画树状图或列表，凭感觉数极易漏。「放回」与「不放回」结果完全不同：本题若放回，总数是 5 × 5 = 25，答案变成 9/25。读题时先圈出这两个字。
和为 7 的有：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共 6 种
P = 6/36 = 1/6
【（2）不放回问题：把球编号区分开】
红球记作 红1、红2、红3，白球记作 白1、白2。
第一次有 5 种选择，第二次（不放回）有 4 种，共 5 × 4 = 20 种等可能结果。
两次都摸到红球：第一次 3 种，第二次剩 2 种红球，共 3 × 2 = 6 种
P = 6/20 = 3/10
【另一种算法】逐步相乘
P = (3/5) × (2/4) = 6/20 = 3/10 ✓
易错提醒：两步事件一定要画树状图或列表，凭感觉数极易漏。「放回」与「不放回」结果完全不同：本题若放回，总数是 5 × 5 = 25，答案变成 9/25。读题时先圈出这两个字。
例题 7
小明和小红用两枚均匀硬币做游戏：同时抛出两枚硬币，若两枚都是正面朝上则小明赢，否则小红赢。
（1）这个游戏公平吗？请用概率说明；
（2）请修改规则，使游戏对双方公平。
（1）这个游戏公平吗？请用概率说明；
（2）请修改规则，使游戏对双方公平。
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【（1）先列出所有等可能结果】两枚硬币同时抛，共 4 种：
（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）
小明赢：只有（正，正）1 种
P(小明赢) = 1/4
小红赢：其余 3 种
P(小红赢) = 3/4
∵ 1/4 ≠ 3/4
∴ 这个游戏不公平，对小红有利。
【（2）修改规则】只要让两人获胜的概率都等于 1/2 即可，例如：
两枚硬币同面（都正或都反）小明赢，异面（一正一反）小红赢。
验证：同面有（正，正）、（反，反）2 种，P = 2/4 = 1/2
异面有（正，反）、（反，正）2 种，P = 2/4 = 1/2 ✓ 公平
易错提醒：（正，反）和（反，正）是两种不同的结果，把它们算成一种，总数就错成 3 了 —— 这是硬币题最经典的错误。判断公平只看双方概率是否相等。
（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）
小明赢：只有（正，正）1 种
P(小明赢) = 1/4
小红赢：其余 3 种
P(小红赢) = 3/4
∵ 1/4 ≠ 3/4
∴ 这个游戏不公平，对小红有利。
【（2）修改规则】只要让两人获胜的概率都等于 1/2 即可，例如：
两枚硬币同面（都正或都反）小明赢，异面（一正一反）小红赢。
验证：同面有（正，正）、（反，反）2 种，P = 2/4 = 1/2
异面有（正，反）、（反，正）2 种，P = 2/4 = 1/2 ✓ 公平
易错提醒：（正，反）和（反，正）是两种不同的结果，把它们算成一种，总数就错成 3 了 —— 这是硬币题最经典的错误。判断公平只看双方概率是否相等。
例题 8
某校随机抽取 50 名学生调查社团意向，结果如下：音乐社 15 人，体育社占被调查人数的 40%，美术社 10 人，科技社 5 人。
（1）求体育社的人数，并验证各项之和；
（2）求音乐社在扇形统计图中的圆心角；
（3）若全校有 800 名学生，估计选择美术社的有多少人；
（4）从音乐、体育、美术、科技四个社团中随机选择两个不同的社团举办联展，求恰好选中音乐社的概率。
（1）求体育社的人数，并验证各项之和；
（2）求音乐社在扇形统计图中的圆心角；
（3）若全校有 800 名学生，估计选择美术社的有多少人；
（4）从音乐、体育、美术、科技四个社团中随机选择两个不同的社团举办联展，求恰好选中音乐社的概率。
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【（1）】体育社 = 50 × 40% = 20（人）
验证：15 + 20 + 10 + 5 = 50 ✓ 与被调查总人数吻合
【（2）】音乐社占比 = 15 ÷ 50 = 0.3
圆心角 = 360° × 0.3 = 108°
【（3）用样本估计总体】
美术社占比 = 10 ÷ 50 = 0.2
估计人数 = 800 × 0.2 = 160（人）
【（4）列举所有选法】记四个社团为 音、体、美、科，选两个不同社团（与顺序无关）共有：
（音，体）、（音，美）、（音，科）、（体，美）、（体，科）、（美，科）
共 6 种等可能结果。
含音乐社的有前 3 种
P = 3/6 = 1/2
易错提醒：（4）里「选两个」不讲顺序，（音，体）和（体，音）是同一种，总数是 6 不是 12；如果题目变成「先后选出正、副主办社团」那才有顺序，总数就是 12。读题时先判断顺序算不算数。
验证：15 + 20 + 10 + 5 = 50 ✓ 与被调查总人数吻合
【（2）】音乐社占比 = 15 ÷ 50 = 0.3
圆心角 = 360° × 0.3 = 108°
【（3）用样本估计总体】
美术社占比 = 10 ÷ 50 = 0.2
估计人数 = 800 × 0.2 = 160（人）
【（4）列举所有选法】记四个社团为 音、体、美、科，选两个不同社团（与顺序无关）共有：
（音，体）、（音，美）、（音，科）、（体，美）、（体，科）、（美，科）
共 6 种等可能结果。
含音乐社的有前 3 种
P = 3/6 = 1/2
易错提醒：（4）里「选两个」不讲顺序，（音，体）和（体，音）是同一种，总数是 6 不是 12；如果题目变成「先后选出正、副主办社团」那才有顺序，总数就是 12。读题时先判断顺序算不算数。
统计 · 概率 · 自查清单
✓求中位数先排序，偶数个取中间两个的平均数
✓方差衡量波动：方差越小越稳定，比较前先看平均数是否接近
✓加权平均数按权重乘，不是直接求算术平均
✓频率 = 频数 ÷ 总数；各组频率之和为 1，圆心角之和为 360°
✓总体、个体指的是考察的数据，不是人；样本容量只写数字
✓用样本估计总体：总体人数 × 样本中的比例
✓算概率的前提是各结果等可能；两步事件画树状图或列表
✓分清放回与不放回、有序与无序，总数完全不同
