数学例题精练：相似三角形与平面向量

【（1）设 k 法】连比问题一律设一份为 k
设 a = 2k，b = 3k，c = 4k
2k + 3k + 4k = 27 → 9k = 27 → k = 3
所以 a = 6，b = 9，c = 12

【（2）同样设 k】x = 3k，y = 2k（k ﹥ 0）
(x + y) : y = 5k : 2k = 5 : 2
(x - y) : (x + y) = k : 5k = 1 : 5

【（3）黄金分割】较长线段 = 全长 × (√5 - 1)/2
黄金比 (√5 - 1)/2 ≈ 0.618
AP = 10 × (√5 - 1)/2 = 5(√5 - 1) = 5√5 - 5 ≈ 6.18
此时 PB = 10 - AP = 15 - 5√5 ≈ 3.82
验证：AP² = (5√5 - 5)² = 125 - 50√5 + 25 = 150 - 50√5
AB · PB = 10 × (15 - 5√5) = 150 - 50√5 ✓（符合 AP² = AB · PB）

易错提醒：黄金分割点有两个，题目说 AP ﹥ PB 才能确定是哪一个；如果没有这句话，答案要写两种情况。

【平行线分线段成比例】DE ∥ BC ⟹ AD/AB = AE/AC = DE/BC

【先求比值】
AB = AD + DB = 3 + 2 = 5
AD/AB = 3/5

【求 AE】
AE/AC = 3/5 → AE = 10 × 3/5 = 6（此时 EC = 4）

【求 DE】
DE/BC = 3/5 → DE = 10 × 3/5 = 6

【面积比】DE ∥ BC ⟹ △ADE ∽ △ABC，相似比 k = 3/5
相似三角形的面积比等于相似比的平方：
S△ADE : S△ABC = (3/5)² = 9 : 25

易错提醒：对应关系别写错：AD 对的是 AB（全边）而不是 DB。另外面积比是相似比的平方，写成 3 : 5 是这一节最常见的失分点。

【（1）证明】用「两角对应相等」
∵ CD ⊥ AB，∴ ∠ADC = ∠CDB = 90°
∵ ∠ACB = 90°，∴ ∠ACD + ∠BCD = 90°
在 Rt△ACD 中，∠ACD + ∠A = 90°
∴ ∠A = ∠BCD
∴ △ACD ∽ △CBD（两角对应相等的两个三角形相似）

【（2）由相似写比例】
由 △ACD ∽ △CBD 得 AD/CD = CD/BD
∴ CD² = AD · BD = 4 × 9 = 36
CD = 6（长度取正）

同理 △ACD ∽ △ABC，得 AC² = AD · AB
AB = AD + BD = 13
AC² = 4 × 13 = 52 → AC = 2√13

BC² = BD · AB = 9 × 13 = 117 → BC = 3√13

【验算】AC² + BC² = 52 + 117 = 169 = 13² = AB² ✓（符合勾股定理）

【结论值得背下来（射影定理）】直角三角形斜边上作高，有
CD² = AD · BD，AC² = AD · AB，BC² = BD · AB

易错提醒：写相似时字母顺序必须一一对应：△ACD ∽ △CBD 说明 A↔C、C↔B、D↔D，顺序写乱了，后面的比例式就全错。

【（1）三个比要分清】
周长比 = 相似比 = 2 : 3
对应高、对应中线、对应角平分线之比也等于相似比
面积比 = 相似比的平方 = 4 : 9
8 : S = 4 : 9 → S = 18

【（2）同一时刻，物高与影长成比例】
设树高为 h
1.5/2 = h/12
h = 12 × 1.5/2 = 9（米）

【（3）先判定相似】
∠A 是公共角，又 ∠ADE = ∠C（即 ∠ACB）
∴ △ADE ∽ △ACB（注意对应顺序：A↔A、D↔C、E↔B）

【写比例】
AD/AC = AE/AB
2/AC = 3/6
3 · AC = 12 → AC = 4

【验证】AD/AC = 2/4 = 1/2，AE/AB = 3/6 = 1/2 ✓

易错提醒：（3）这种「一个公共角 + 一组等角」的图形叫 A 字型，但相似的对应顺序是 △ADE ∽ △ACB 而不是 △ADE ∽ △ABC —— 谁对谁由等角决定，写之前先把三组对应角配好。

【三角形法则】首尾相接：向量 BC = 向量 BA + 向量 AC
而 向量 BA = -向量 AB = -a

【求 BC】
向量 BC = -a + b = b - a
（记法：终点减起点，BC = AC - AB）

【求 BD】D 是 BC 中点，向量 BD 与 BC 同向、长度一半
向量 BD = ½ 向量 BC = ½(b - a)

【求 AD】从 A 出发，先到 B 再到 D
向量 AD = 向量 AB + 向量 BD
= a + ½(b - a)
= a - ½a + ½b
= ½(a + b)

【结论值得记住】三角形中线向量 = 两边向量和的一半。

易错提醒：向量有方向，向量 BC 与 向量 CB 互为相反向量，符号写反答案就错；另外结果里的字母上要按老师要求加箭头，考试写成普通字母会扣分。

【平行四边形法则】以 AB、AD 为邻边，对角线 AC 就是两者之和。

【向量 AC】
向量 AC = 向量 AB + 向量 BC，而 BC ∥ AD 且 BC = AD，即 向量 BC = b
∴ 向量 AC = a + b

【向量 BD】终点减起点
向量 BD = 向量 AD - 向量 AB = b - a

【向量 AO】平行四边形对角线互相平分，O 是 AC 中点
向量 AO = ½ 向量 AC = ½(a + b)

【向量 AE】E 是 CD 中点，从 A 先到 D 再走半条 DC
向量 DC = 向量 AB = a
向量 AE = 向量 AD + ½ 向量 DC = b + ½a

【检查】也可以从 C 走：向量 AE = 向量 AC + ½向量 CD = (a + b) - ½a = ½a + b ✓ 两条路径结果一致

易错提醒：向量 CD 与 向量 DC 方向相反：向量 DC = 向量 AB = a，而 向量 CD = -a。换一条路径重算一遍作验证，是这类题最可靠的检查方法。

【（1）证明】
在 △ABD 与 △CBA 中：
∠B = ∠B（公共角）
∠BAD = ∠C（已知）
∴ △ABD ∽ △CBA（两角对应相等）

由相似得对应边成比例：
AB/CB = BD/BA
交叉相乘：AB · BA = CB · BD
即 AB² = BD · BC

【（2）代入计算】
BC = BD + DC = 4 + 5 = 9
AB² = 4 × 9 = 36
AB = 6（舍去负值）

【一句话记住这个模型】「公共角 + 一组等角」⟹ 共边成比例中项，结论形如「共边的平方 = 两段相邻线段之积」，中考里出现频率极高。

易错提醒：写 △ABD ∽ △CBA 时顺序不能图省事写成 △ABD ∽ △ABC —— 对应顶点由等角决定：∠BAD 对 ∠C，所以 A 对 C、B 对 B、D 对 A。

【第一步：把动点用 t 表示】
AP = t（速度 1，时间 t）
点 P 在 AC 上运动，AC = 6，所以 0 ﹤ t ≤ 6

【第二步：用相似求 PQ】
∵ PQ ∥ BC，∴ △APQ ∽ △ACB
∴ AP/AC = PQ/CB
t/6 = PQ/8
PQ = 8t/6 = 4t/3

【第三步：算面积】
∵ ∠C = 90°，即 BC ⊥ AC，而 PQ ∥ BC
∴ PQ ⊥ AC，PQ 就是以 AP 为底时的高
S = ½ · AP · PQ = ½ · t · 4t/3
S = 2t²/3（0 ﹤ t ≤ 6）

【验算端点】t = 6 时 P 与 C 重合，Q 与 B 重合
S = 2 × 36/3 = 24；而 S△ABC = ½ × 6 × 8 = 24 ✓

易错提醒：动点题必须写取值范围，而且要看清端点能不能取到（P 到 C 时三角形仍存在，所以取 t ≤ 6；t = 0 时三角形不存在，用 0 ﹤ t）。先把边长用 t 表示，再找相似，是这类题的固定顺序。