数学例题精练：平方根、立方根与实数

【定义先分清】
平方根：平方等于 a 的数，正数有两个，互为相反数，记作 ±√a；
算术平方根：其中非负的那一个，记作 √a。

（1）81
9² = 81，(-9)² = 81
平方根：±9；算术平方根：9

（2）0.25
0.5² = 0.25
平方根：±0.5；算术平方根：0.5

（3）49/64
(7/8)² = 49/64
平方根：±7/8；算术平方根：7/8

（4）(-6)²
先算出这个数：(-6)² = 36
平方根：±6；算术平方根：6

易错提醒：「求 36 的平方根」答 ±6，「求 36 的算术平方根」答 6，「√36 等于多少」答 6。带根号写出来的 √36 本身已经代表算术平方根，前面不能再自己加 ±。

【两个公式先记牢】
√(a²) = |a|（先平方再开方，结果非负，负数要变号）
(√a)² = a（先开方再平方，前提 a ≥ 0）

（1）√((-7)²) = √49 = 7
也可以直接用公式：√((-7)²) = |-7| = 7

（2）(√7)² = 7（因为 7 ≥ 0，√7 有意义）

（3）√((x - 3)²) = |x - 3|
已知 x < 3，所以 x - 3 < 0，绝对值要去负号：
|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x

易错提醒：√(a²) = a 这个写法只在 a ≥ 0 时成立。题目一旦给了字母的范围，第一反应就该是判断括号里的正负，再决定去绝对值时加不加负号。

【核心思路】几个非负的东西加起来等于 0，只能每一个都等于 0。
常见的非负量：√a ≥ 0、a² ≥ 0、|a| ≥ 0。

（1）√(a - 3) ≥ 0，(b + 2)² ≥ 0，和为 0，所以两项都为 0：
a - 3 = 0 → a = 3
b + 2 = 0 → b = -2
a + b = 3 + (-2) = 1
1 的算术平方根为 √1 = 1

（2）这里是「双重非负性」：被开方数必须非负，两个根号同时出现
x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2
2 - x ≥ 0 → x ≤ 2
两个条件夹在一起，只能 x = 2

代回原式：√0 + √0 = y + 3，即 0 = y + 3
y = -3
x + y = 2 + (-3) = -1

易错提醒：看到 √(x - 2) 与 √(2 - x) 同时出现，不要急着算，先写两个不等式夹出 x —— 这是「双重非负性求值」的固定套路，中考和期中卷都爱考。

【（1）整体开平方】
(x - 1)² = 16
x - 1 = ±4（两个根都要写）
x - 1 = 4 → x₁ = 5
x - 1 = -4 → x₂ = -3

【（2）先移项，再系数化 1】
4x² = 25
x² = 25/4
x = ±√(25/4) = ±5/2
即 x₁ = 5/2，x₂ = -5/2

【（3）】
x² = 4
x = ±2

【验算】取（1）的 x = -3：(-3 - 1)² = (-4)² = 16 ✓

易错提醒：开平方解方程时最常见的丢分是「只写正根」。x² = 4 的解是 x = ±2，而 √4 = 2 —— 前者是解方程，后者是求算术平方根，两回事。

【立方根的正负特性】正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。
也就是说：任何实数都有且只有一个立方根 —— 这一点和平方根完全不同。

（1）4³ = 64 → ∛64 = 4
（2）(-3)³ = -27 → ∛(-27) = -3
（3）(2/5)³ = 8/125 → ∛(8/125) = 2/5
（4）0.1³ = 0.001 → ∛0.001 = 0.1

【比较】
∛(-8) = -2；-∛8 = -2
所以 ∛(-8) = -∛8
推广成公式：∛(-a) = -∛a（负号可以提到根号外面）

易错提醒：平方根里的负号不能往外提（√(-4) 在实数范围内无意义），立方根里可以。两种根号的这条区别，是这一章最容易混的地方。

【（1）整体开立方】立方根只有一个，不用写 ±
(x - 1)³ = -27
x - 1 = ∛(-27) = -3
x = -3 + 1 = -2

【验算】(-2 - 1)³ = (-3)³ = -27 ✓

【（2）先移项】
8x³ = -27
x³ = -27/8
x = ∛(-27/8) = -3/2

【验算】8 × (-3/2)³ + 27 = 8 × (-27/8) + 27 = -27 + 27 = 0 ✓

易错提醒：开平方写 ±，开立方不写 ± —— 解方程时错把立方根写成两个解，是这一节的典型扣分点。

【先化简，再分类】判断有理数还是无理数，一定要先把式子算出来，不能看长相。
√4 = 2（有理数）
∛(-8) = -2（有理数）
√(1/9) = 1/3（有理数）
√5 ≈ 2.236…（开不尽方，无理数）

【有理数集合】3.14、√4、22/7、∛(-8)、-1/3、√(1/9)
（整数和分数统称有理数；有限小数和无限循环小数都能化成分数）

【无理数集合】π、√5、0.1010010001…
（无限不循环小数）

【无理数的三大来源】
① 开方开不尽的数：√2、√5、∛3
② 与 π 有关的数：π、π/2、2π
③ 有规律但不循环的构造小数：0.1010010001…

易错提醒：22/7 是分数，是有理数，别因为它约等于 π 就归到无理数里；3.14 是有限小数也是有理数。√4 这类「根号里是完全平方数」的更要先算出来再判断。

【（1）夹逼法】找它两边最近的完全平方数
4 < 7 < 9，即 2² < 7 < 3²
所以 2 < √7 < 3

再往下试一位小数：
2.6² = 6.76 < 7
2.7² = 7.29 > 7
所以 2.6 < √7 < 2.7（√7 ≈ 2.6）

【（2）比较大小：一律先平方】
① √7 与 2.5：2.5² = 6.25 < 7，两个都是正数
∴ √7 > 2.5

② -√7 与 -2.7：由（1）知 √7 < 2.7
两个负数，绝对值大的反而小
∴ -√7 > -2.7

③ √10 - 1 与 2：先比较 √10 与 3
3² = 9 < 10 → √10 > 3
∴ √10 - 1 > 3 - 1 = 2

【数轴上的位置】每一个实数都对应数轴上唯一一个点，反过来也一样（一一对应）。√7 落在 2.6 与 2.7 之间，-√7 与它关于原点对称。

易错提醒：带负号比较大小时，不等号要跟着变向：由 √7 < 2.7 得到的是 -√7 > -2.7。