数学例题精练：二次根式

【判断依据】形如 √a 的式子叫二次根式，有意义的条件是被开方数 a ≥ 0；如果式子里还有分母，分母不能为 0。

（1）3 - 2x ≥ 0
-2x ≥ -3
两边同除以 -2，不等号变向：x ≤ 3/2

（2）两个条件同时满足：
分子：x + 1 ≥ 0 → x ≥ -1
分母：x - 2 ≠ 0 → x ≠ 2
取值范围：x ≥ -1 且 x ≠ 2

（3）两个根号都要有意义：
x - 1 ≥ 0 → x ≥ 1
5 - x ≥ 0 → x ≤ 5
取交集：1 ≤ x ≤ 5

（4）x² ≥ 0，所以 x² + 1 ≥ 1 > 0 恒成立
取值范围：x 为任意实数

易错提醒：（1）里除以负数忘记变号，是这一题型头号错误；（2）里只写 x ≥ -1、漏掉 x ≠ 2 也很常见 —— 有分母就一定要多看一眼。

【公式】√(a²) = |a|，去绝对值前先判断里面的正负。

（1）x < 2 → x - 2 < 0
√((x - 2)²) = |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x

（2）0 < a < 1
a > 0 → √(a²) = a
a - 1 < 0 → √((a - 1)²) = -(a - 1) = 1 - a
原式 = a - (1 - a) = a - 1 + a = 2a - 1

（3）√((3 - x)²) = |3 - x|，题目说它等于 x - 3
|3 - x| = -(3 - x) = x - 3，说明 3 - x ≤ 0
即 x ≥ 3

易错提醒：（2）里第二项前面有减号，去绝对值得到 1 - a 之后整体要变号，写成 -(1 - a) = -1 + a。这一步漏变号，答案就成了 1 而不是 2a - 1。

【最简二次根式的两个标准】
① 被开方数里不含能开得尽方的因数（因式）；
② 被开方数里不含分母。

（1）√75：把 75 拆成「完全平方数 × 剩下的」
75 = 25 × 3
√75 = √25 × √3 = 5√3

（2）√(3/5)：被开方数含分母，先把分母配成完全平方
√(3/5) = √(3 × 5 / (5 × 5)) = √15 / √25 = √15 / 5

（3）√(18x²y)：18 = 9 × 2，x² 是完全平方因式
√(18x²y) = √9 × √(x²) × √(2y) = 3 × |x| × √(2y)
因为 x > 0，|x| = x
原式 = 3x√(2y)

（4）√0.08：小数先化成分数
0.08 = 8/100
√(8/100) = √8 / 10 = 2√2 / 10 = √2 / 5

易错提醒：（3）里 √(x²) = |x| 而不是 x，题目没给 x > 0 时必须带绝对值；另外化简做到一半就停手（比如把 √75 写成 √25 × √3 就交卷）也算不彻底。

【（1）逐个对标准检查】
√12 = 2√3 —— 含完全平方因数 4，不是
√7 —— 7 没有平方因数，是
√(2/3) —— 被开方数含分母，不是
√(a² + b²) —— 是和的形式，不能拆开开方，是
√0.5 = √(1/2) —— 实质含分母，不是
√(5a) —— 没有平方因式也没有分母，是

答案：√7、√(a² + b²)、√(5a)

【（2）】
√(a³b) = √(a² × ab) = √(a²) × √(ab) = a√(ab)（a ≥ 0）

2√(1/8) = 2 × √1 / √8 = 2 / (2√2) = 1/√2 = √2 / 2
另一种走法：2√(1/8) = 2√(2/16) = 2 × √2 / 4 = √2 / 2

易错提醒：√(a² + b²) 不等于 a + b —— 加号下面的根号拆不开，这是整章最高频的错误之一。只有乘积和商才有 √(ab) = √a·√b、√(a/b) = √a/√b。

【乘除法则】（a ≥ 0，b ≥ 0）
√a × √b = √(ab)；√a ÷ √b = √(a/b)（b > 0）
系数和系数算，根号和根号算，最后结果一定要化成最简。

（1）把三个根号合成一个：
√6 × √8 ÷ √3 = √(6 × 8 ÷ 3) = √16 = 4

（2）系数 3 × 2 = 6，根号 √5 × √10 = √50
原式 = 6√50 = 6 × 5√2 = 30√2
（√50 = √(25 × 2) = 5√2）

（3）除以一个数等于乘它的倒数：
√(2/3) ÷ √(1/6) = √(2/3 × 6) = √4 = 2

（4）√(12a) × √(3a) = √(36a²) = 6|a| = 6a（a > 0）

易错提醒：（2）算到 6√50 就停手是典型的「化简不彻底」，得分点在最后那步。先合并再化简，通常比先化简每一项更快。

【有理化因式怎么找】
分母是 √a → 乘 √a；
分母是 √a + √b → 乘 √a - √b（利用平方差公式，两个互为有理化因式）。

（1）分子分母同乘 √6：
3 / √6 = 3√6 / (√6 × √6) = 3√6 / 6 = √6 / 2

（2）分子分母同乘 (√5 + 1)：
4 / (√5 - 1) = 4(√5 + 1) / [(√5 - 1)(√5 + 1)]
分母用平方差：(√5)² - 1² = 5 - 1 = 4
原式 = 4(√5 + 1) / 4 = √5 + 1

（3）分子分母同乘 (√3 - √2)：
分母：(√3 + √2)(√3 - √2) = 3 - 2 = 1
分子：(√3 - √2)² = 3 - 2√6 + 2 = 5 - 2√6
原式 = (5 - 2√6) / 1 = 5 - 2√6

【验算思路】用计算器估一下：√3 ≈ 1.732，√2 ≈ 1.414
原式 ≈ 0.318 / 3.146 ≈ 0.101；5 - 2√6 ≈ 5 - 4.899 = 0.101 ✓

易错提醒：含多项式分母时，乘的是整个共轭式，分子分母都要乘，而且分子要按完全平方（或平方差）公式老老实实展开 —— 只乘分母是最常见的错。

【加减三步走】① 每一项先化成最简二次根式 → ② 找出同类二次根式（根号里完全相同）→ ③ 系数相加减，根号不变（本质就是合并同类项）。

（1）
√8 = 2√2，√18 = 3√2，√50 = 5√2
原式 = 2√2 + 3√2 - 5√2 = (2 + 3 - 5)√2 = 0

（2）
√12 = 2√3
√(1/3) = √3 / 3
3√27 = 3 × 3√3 = 9√3
原式 = 2√3 - √3/3 + 9√3 = (2 - 1/3 + 9)√3 = (33/3 - 1/3)√3 = 32√3 / 3

（3）先各自化简再相加
√48 = 4√3；2√(3/4) = 2 × √3/2 = √3；√(1/3) = √3/3
第一个式子 = 4√3 - √3 + √3/3 = (4 - 1 + 1/3)√3 = 10√3 / 3
√20 = 2√5，√45 = 3√5
第二个式子 = 2√5 - 3√5 = -√5
两式相加 = 10√3 / 3 - √5（√3 与 √5 不是同类，不能再合并）

易错提醒：√2 + √3 ≠ √5 —— 根号里不同的项永远合不了。判断能不能合并，必须化到最简之后再看，√8 和 √18 长得不一样，其实都是 √2 的同类。

【运算顺序】先乘方 → 再乘除 → 后加减，有括号先算括号；乘法公式（平方差、完全平方）能用就用，比硬乘快得多。

（1）
第一部分：(√27 + √12) ÷ √3 = (3√3 + 2√3) ÷ √3 = 5√3 ÷ √3 = 5
第二部分（平方差）：(√2 - 1)(√2 + 1) = (√2)² - 1² = 2 - 1 = 1
原式 = 5 - 1 = 4

（2）
(√5 + 2)(√5 - 2) = (√5)² - 2² = 5 - 4 = 1
(√3 - 1)² = (√3)² - 2 × √3 × 1 + 1² = 3 - 2√3 + 1 = 4 - 2√3
原式 = 1 + 4 - 2√3 = 5 - 2√3

（3）
(2√3 - 1)² = (2√3)² - 2 × 2√3 × 1 + 1 = 12 - 4√3 + 1 = 13 - 4√3
(√6 + √2)(√6 - √2) = 6 - 2 = 4
原式 = 13 - 4√3 - 4 = 9 - 4√3

易错提醒：(2√3)² = 4 × 3 = 12，不是 2 × 3 = 6 —— 系数也要平方；另外整个括号前是减号时，展开后每一项都要变号。