数学例题精练：整式、因式分解与分式

【幂的四条运算性质】
同底数幂相乘，底数不变指数相加：aᵐ · aⁿ = a⁽ᵐ⁺ⁿ⁾
幂的乘方，底数不变指数相乘：(aᵐ)ⁿ = a⁽ᵐⁿ⁾
积的乘方，每个因式都要乘方：(ab)ⁿ = aⁿbⁿ
同底数幂相除，指数相减：aᵐ ÷ aⁿ = a⁽ᵐ⁻ⁿ⁾

（1）a³ · a⁴ = a⁷
（2）(a³)² = a⁶
（3）(-2a²b)³ = (-2)³ · (a²)³ · b³ = -8a⁶b³（系数和每个字母都要立方，负号也要）
（4）a⁶ ÷ a² = a⁴

【两个乘法公式】
平方差：(a + b)(a - b) = a² - b²
完全平方：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

（5）(2x + 3)(2x - 3) = (2x)² - 3² = 4x² - 9
（6）(3a - b)² = (3a)² - 2 · 3a · b + b² = 9a² - 6ab + b²
（7）(-3x²y)(2xy³) = (-3 × 2)(x² · x)(y · y³) = -6x³y⁴

易错提醒：(3a - b)² 不等于 9a² - b²，中间的 -6ab 项不能丢；(-2a²b)³ 里的系数 -2 也要立方，只给字母乘方是最常见的漏算。

【思路】化简求值题一律「先化到最简，再代数」，直接代入会算到崩。

（1）展开
(2x + 1)² = 4x² + 4x + 1
(x + 2)(x - 2) = x² - 4
原式 = 4x² + 4x + 1 - (x² - 4) = 4x² + 4x + 1 - x² + 4
合并：3x² + 4x + 5

【代入 x = -1】
3 × (-1)² + 4 × (-1) + 5 = 3 - 4 + 5 = 4

（2）展开
(a + 2b)(a - 2b) = a² - 4b²
(a + 2b)² = a² + 4ab + 4b²
原式 = a² - 4b² + a² + 4ab + 4b² - 2a² = 4ab

【代入 a = 3，b = -1】
4 × 3 × (-1) = -12

易错提醒：整个括号前是减号时，展开后括号里每一项都要变号：-(x² - 4) = -x² + 4。这一步漏变号，后面全错。

【顺序口诀】一提（公因式）、二套（公式）、三检查（每个因式还能不能再分）。

（1）提公因式，公因式取系数最大公约数、字母取最低次
3a²b - 6ab² = 3ab(a - 2b)

（2）套平方差 a² - b² = (a + b)(a - b)
4x² - 9y² = (2x)² - (3y)² = (2x + 3y)(2x - 3y)

（3）先提再套
x³ - 4x = x(x² - 4) = x(x + 2)(x - 2)
（提完公因式后括号里还能用平方差，不能停在 x(x² - 4)）

（4）先提再套完全平方
2a² - 8a + 8 = 2(a² - 4a + 4) = 2(a - 2)²

易错提醒：分解到底是这一节的得分点：x(x² - 4)、2(a² - 4a + 4) 都只做了一半。写完答案一定要回头看每个括号是不是还能继续分解。

【十字相乘法】x² + px + q 型：找两个数，和为 p、积为 q。

（1）积为 6、和为 -5 → -2 与 -3
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)

（2）积为 -8、和为 2 → 4 与 -2
x² + 2x - 8 = (x + 4)(x - 2)

（3）二次项系数不为 1，拆中间项：-7x = -x - 6x
2x² - x - 6x + 3
= x(2x - 1) - 3(2x - 1)
= (2x - 1)(x - 3)
验证：(2x - 1)(x - 3) = 2x² - 6x - x + 3 = 2x² - 7x + 3 ✓

（4）分组分解法，四项一般两两一组
ax + ay - bx - by
= a(x + y) - b(x + y)
= (x + y)(a - b)

易错提醒：分组时如果第二组前面是减号，提出负号后组内两项都要变号：-bx - by = -b(x + y)，写成 -b(x - y) 就错了。分解完一律乘回去验算。

【（1）两个条件分清】
分式有意义 → 分母 ≠ 0：x + 2 ≠ 0，即 x ≠ -2
分式值为零 → 分子 = 0 且 分母 ≠ 0：
x - 3 = 0 → x = 3，此时 x + 2 = 5 ≠ 0
所以 x = 3

【（2）约分：先分解，再约】
分子：x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
分母：x² + 4x + 4 = (x + 2)²
约去公因式 (x + 2)：
原式 = (x - 2)/(x + 2)（x ≠ -2）

【（3）通分：先找最简公分母】
x² - 1 = (x + 1)(x - 1)，最简公分母为 (x + 1)(x - 1)
1/(x - 1) = (x + 1)/[(x + 1)(x - 1)]
2/(x² - 1) = 2/[(x + 1)(x - 1)]

易错提醒：「值为零」只答 x = 3 前，必须先确认分母不为 0；约分只能约公因式，(x + 2)/(x² + 2) 这种分子分母是和的形式，一个字母都约不掉。

【第一步：括号内通分】
1 - 1/(x + 1) = (x + 1)/(x + 1) - 1/(x + 1) = x/(x + 1)

【第二步：除法变乘法】除以一个分式等于乘它的倒数
原式 = x/(x + 1) × (x² - 1)/x

【第三步：分解后约分】
x² - 1 = (x + 1)(x - 1)
原式 = x/(x + 1) × (x + 1)(x - 1)/x
约去 x 和 (x + 1)：
原式 = x - 1

【第四步：选值】要让原式每一步都有意义
x + 1 ≠ 0 → x ≠ -1
x ≠ 0（它做过除式的分母）
x² - 1 ≠ 0 → x ≠ ±1
所以 -1、0、1 都不能取，只能取 x = 3

【求值】原式 = 3 - 1 = 2

易错提醒：这类题最后一问专门挖坑：能选的值必须让原式（不是化简后的式子）有意义，分母、除式的分子都要检查一遍。化简后是 x - 1，代 x = 1 看似没问题，其实原式无意义。

【核心是完全平方公式的变形】
a² + b² = (a + b)² - 2ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

（1）把 x 和 1/x 看成两个数，注意 x · (1/x) = 1
x² + 1/x² = (x + 1/x)² - 2 = 3² - 2 = 7
(x - 1/x)² = x² - 2 + 1/x² = 7 - 2 = 5
（也可以直接用 (x + 1/x)² - 4 = 9 - 4 = 5）

（2）
a² + b² = (a + b)² - 2ab = 25 - 12 = 13
(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 25 - 24 = 1

【验算】a + b = 5、ab = 6 → a、b 是 2 和 3
a² + b² = 4 + 9 = 13 ✓；(a - b)² = (2 - 3)² = 1 ✓

易错提醒：这类题不要去求出 x 或 a、b 本身（往往是无理数甚至无实数解），把 x + 1/x、a + b 当成一个整体套公式，两三步就出结果。

【三个约定】
a⁰ = 1（a ≠ 0）；a⁻ⁿ = 1/aⁿ（a ≠ 0）；(1/a)⁻¹ = a

（1）逐项算
(-2)⁰ = 1
2⁻² = 1/2² = 1/4
|-3| = 3
(1/2)⁻¹ = 2
原式 = 1 + 1/4 - 3 + 2 = 1/4

（2）科学记数法 a × 10ⁿ，其中 1 ≤ |a| ﹤ 10
3 200 000：小数点向左移 6 位 → 3.2 × 10⁶
0.000 045：小数点向右移 5 位，指数取负 → 4.5 × 10⁻⁵

（3）系数与系数乘，10 的幂按同底数幂相乘
(2 × 3) × 10⁽³⁻⁵⁾ = 6 × 10⁻²
即 6 × 10⁻²（等于 0.06）

易错提醒：负指数只是取倒数，不改变符号：2⁻² = 1/4，不是 -4；科学记数法里 a 必须是 1 到 10 之间的数，写成 32 × 10⁵ 不算标准形式。