数学例题精练：方程组与列方程解应用题

【思路】哪个未知数系数是 ±1，就用哪个式子表示它。①里 y 的系数是 1。

【由 ① 得】
y = 7 - 2x  …③

【把 ③ 代入 ②】（注意整体加括号）
3x - 2(7 - 2x) = 0
3x - 14 + 4x = 0
7x = 14
x = 2

【回代 ③】
y = 7 - 2 × 2 = 3

【解】x = 2，y = 3

【检验】① 2 × 2 + 3 = 7 ✓；② 3 × 2 - 2 × 3 = 0 ✓

易错提醒：代入时一定要给整个式子加括号：-2(7 - 2x) 展开是 -14 + 4x，写成 -14 - 4x 是最高频的错误。方程组的解要写成一对，不能只写 x。

【思路】让某个未知数的系数变成互为相反数（或相等），再加（减）掉它。
这里 y 的系数是 4 和 -2，把 ② 乘 2 就能凑成 -4。

【② × 2】
10x - 4y = 8  …③

【① + ③】消去 y
(3x + 10x) + (4y - 4y) = 18 + 8
13x = 26
x = 2

【回代 ①】
3 × 2 + 4y = 18
4y = 12
y = 3

【解】x = 2，y = 3

【检验】② 5 × 2 - 2 × 3 = 10 - 6 = 4 ✓

易错提醒：方程两边同乘一个数时，每一项都要乘，包括右边的常数项：② × 2 的右边是 8 而不是 4。

【通法：用一次方程代入降次】

【由 ① 得】y = 5 - x  …③

【代入 ②】
x² + (5 - x)² = 13
x² + 25 - 10x + x² = 13
2x² - 10x + 12 = 0
两边除以 2：x² - 5x + 6 = 0
因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0
x₁ = 2，x₂ = 3

【分别回代 ③】
x = 2 → y = 3
x = 3 → y = 2

【解】两组解：
x = 2，y = 3  或  x = 3，y = 2

【检验】2² + 3² = 4 + 9 = 13 ✓

易错提醒：二元二次方程组的解常常有两组，求出 x 的两个值后要各自配对回代，不能把 x₁ 和 y₂ 混着写。

【思路：先看能不能因式分解降次】②的左边正好是平方差。

【分解 ②】
x² - 4y² = (x + 2y)(x - 2y) = 3

【把 ① 代进去】已知 x + 2y = 3
3(x - 2y) = 3
x - 2y = 1  …③

【① 与 ③ 组成二元一次方程组】
① + ③：2x = 4 → x = 2
① - ③：4y = 2 → y = 1/2

【解】x = 2，y = 1/2

【检验】① 2 + 2 × 1/2 = 3 ✓；② 4 - 4 × 1/4 = 4 - 1 = 3 ✓

易错提醒：看到 x² - 4y²、x² - y²、x² + 2xy + y² 这类能分解的二次式，先分解再整体代入，比硬代入展开快一大截 —— 硬代入这题会得到一个带分数的一元二次方程。

【设未知数】设慢车速度为 x 千米/时，则快车速度为 (x + 20) 千米/时。

【找等量关系】「早到 1 小时」→ 慢车用时 - 快车用时 = 1
时间 = 路程 ÷ 速度

【列方程】
120/x - 120/(x + 20) = 1

【解方程】两边同乘 x(x + 20)
120(x + 20) - 120x = x(x + 20)
120x + 2400 - 120x = x² + 20x
2400 = x² + 20x
x² + 20x - 2400 = 0
(x + 60)(x - 40) = 0
x₁ = 40，x₂ = -60

【检验并取舍】速度不能为负，舍去 x = -60；
x = 40 时分母 x = 40 ≠ 0、x + 20 = 60 ≠ 0，不是增根。
验算：120/40 = 3 小时，120/60 = 2 小时，相差 1 小时 ✓

【答】慢车的速度是 40 千米/时。

易错提醒：分式方程解应用题要做两次检验：一是检验增根（分母不为零），二是检验是否符合实际意义（速度、人数、长度不能为负）。最后别忘了写「答」。

【设未知数】设平均每次降价的百分率为 x。

【找等量关系】降价一次后是原价的 (1 - x) 倍，两次就是 (1 - x)²
原价 × (1 - x)² = 现价

【列方程】
200(1 - x)² = 162

【解方程】用开平方法更快
(1 - x)² = 162/200 = 0.81
1 - x = ±0.9
x₁ = 0.1，x₂ = 1.9

【取舍】降价百分率不可能大于 1（降 190% 没有意义），舍去 x = 1.9
x = 0.1 = 10%

【验算】200 × 0.9 = 180，180 × 0.9 = 162 ✓

【答】平均每次降价 10%。

易错提醒：增长率模型统一是 a(1 ± x)ⁿ = b：增长用加号、下降用减号，n 是变化次数。两个根一定要按实际意义取舍，降价率必须在 0 到 1 之间。

【设未知数】设售价上涨 x 元，则售价为 (50 + x) 元，每件利润为 (50 + x - 40) = (10 + x) 元，月销量为 (500 - 10x) 件。

【找等量关系】每件利润 × 销量 = 总利润

【列方程】
(10 + x)(500 - 10x) = 8000

【解方程】展开
5000 - 100x + 500x - 10x² = 8000
-10x² + 400x + 5000 = 8000
-10x² + 400x - 3000 = 0
两边除以 -10：x² - 40x + 300 = 0
(x - 10)(x - 30) = 0
x₁ = 10，x₂ = 30

【对应售价】
x = 10 → 售价 60 元，月销量 400 件，利润 20 × 400 = 8000 ✓
x = 30 → 售价 80 元，月销量 200 件，利润 40 × 200 = 8000 ✓

【答】售价定为 60 元或 80 元。若题目另有「薄利多销」或「让顾客得实惠」的要求，则取 60 元。

易错提醒：销售问题的两个根往往都符合实际，不能随手舍掉一个 —— 只有题目附加了条件（如「尽可能让利顾客」「销量不低于 300 件」）才做取舍。

【（1）设未知数】设购进 A 种 x 件，则 B 种 (100 - x) 件。

【列方程】按总进价列
20x + 35(100 - x) = 2750
20x + 3500 - 35x = 2750
-15x = -750
x = 50
B 种：100 - 50 = 50 件

【验算】20 × 50 + 35 × 50 = 1000 + 1750 = 2750 ✓
【答】A、B 各购进 50 件。

【（2）设未知数】设购进 A 种 a 件，则 B 种 (100 - a) 件。
每件利润：A 为 30 - 20 = 10 元，B 为 48 - 35 = 13 元。

【列不等式】「不少于」就是 ≥
10a + 13(100 - a) ≥ 1200
10a + 1300 - 13a ≥ 1200
-3a ≥ -100
两边除以 -3，不等号变向：
a ≤ 100/3 ≈ 33.3

【取整数】件数必须是非负整数，所以 a 最大取 33
验算：10 × 33 + 13 × 67 = 330 + 871 = 1201 ≥ 1200 ✓
若取 34：340 + 13 × 66 = 340 + 858 = 1198 ﹤ 1200 ✗

【答】A 种最多购进 33 件。

易错提醒：方案类问题两个坑：一是除以负数忘了变不等号方向，二是算出 33.3 后直接答 33.3 件 —— 件数要取整数，还要代回去验一下临界值。