数学例题精练：代数与方程

【展开括号】
3x - 6 + 1 = 2x + 2

【合并同类项】
3x - 5 = 2x + 2

【移项】将含 x 的项移到左边，常数项移到右边
3x - 2x = 2 + 5

【合并得解】
x = 7

【验算】代入原式：
左边 = 3(7 - 2) + 1 = 15 + 1 = 16
右边 = 2(7 + 1) = 16
左边 = 右边 ✓

【去分母】等式两边同乘最小公倍数 6
6 × (2x + 1)/3 - 6 × (5x - 1)/6 = 6 × 1
2(2x + 1) - (5x - 1) = 6

【展开括号】注意第二个括号前有负号
4x + 2 - 5x + 1 = 6

【合并同类项】
-x + 3 = 6

【移项】
-x = 6 - 3
-x = 3

【系数化为 1】两边同除以 -1
x = -3

【验算】代入原式：
左边 = (2×(-3) + 1)/3 - (5×(-3) - 1)/6
= (-6 + 1)/3 - (-15 - 1)/6
= (-5)/3 - (-16)/6
= -5/3 + 16/6
= -10/6 + 16/6
= 6/6 = 1 = 右边 ✓

【因式分解】找两个数，乘积为 6、和为 -5 → -2 和 -3
x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0

【令每个因式为零】
x - 2 = 0 或 x - 3 = 0

【求解】
x₁ = 2，x₂ = 3

【验算】
x = 2 时：4 - 10 + 6 = 0 ✓
x = 3 时：9 - 15 + 6 = 0 ✓

方法一：因式分解（十字相乘法）

将中间项 -7x 拆成 -x - 6x：
2x² - x - 6x + 3 = 0
x(2x - 1) - 3(2x - 1) = 0
(x - 3)(2x - 1) = 0

x - 3 = 0 或 2x - 1 = 0
x₁ = 3，x₂ = 1/2

方法二：公式法

a = 2，b = -7，c = 3
判别式 Δ = b² - 4ac = (-7)² - 4 × 2 × 3 = 49 - 24 = 25 > 0
方程有两个不相等的实数根

x = (-b ± √Δ) / (2a) = (7 ± √25) / (2 × 2) = (7 ± 5) / 4

x₁ = (7 + 5) / 4 = 12/4 = 3
x₂ = (7 - 5) / 4 = 2/4 = 1/2

【验算】
x = 3 时：2 × 9 - 7 × 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0 ✓
x = 1/2 时：2 × 1/4 - 7 × 1/2 + 3 = 1/2 - 7/2 + 3 = -6/2 + 3 = -3 + 3 = 0 ✓

【去分母】等式两边同乘 (x - 1)(x + 1)
2(x + 1) = 4(x - 1)

【展开】
2x + 2 = 4x - 4

【移项】
2x - 4x = -4 - 2
-2x = -6

【系数化为 1】
x = 3

【检验】分式方程必须检验增根！
x = 3 时：x - 1 = 2 ≠ 0，x + 1 = 4 ≠ 0（分母不为零）
代入左边 = 2/(3 - 1) = 2/2 = 1
代入右边 = 4/(3 + 1) = 4/4 = 1
左边 = 右边 ✓

∴ 原方程的解为 x = 3

【找公分母】注意 x² - 1 = (x + 1)(x - 1)
最简公分母为 (x + 1)(x - 1)

【去分母】等式两边同乘 (x + 1)(x - 1)
(x + 1)(x + 1) - 4 = (x + 1)(x - 1)
即 (x + 1)² - 4 = x² - 1

【展开】
x² + 2x + 1 - 4 = x² - 1

【化简】两边消去 x²
2x + 1 - 4 = -1
2x - 3 = -1

【求解】
2x = 2
x = 1

【检验】分式方程必须检验增根！
x = 1 时：x - 1 = 0，x² - 1 = 0，分母为零！

∴ x = 1 是增根，原方程无解。

易错提醒：分式方程求出解后一定要代入检验。遇到增根导致无解的情况，在中考中属于常考陷阱，务必注意。

【展开括号】
2x - 2 < x + 3

【移项】含 x 的项移到左边，常数项移到右边
2x - x < 3 + 2

【合并】
x < 5

【数轴表示】
在数轴上 5 的位置画空心圆圈（不含 5），向左画射线。
◄━━━━━━━○
               5

【验算】取 x = 4（在解集内）：
左边 = 2(4 - 1) = 6，右边 = 4 + 3 = 7
6 < 7 ✓

【解不等式 ①】3x - 1 > x + 1
移项：3x - x > 1 + 1
合并：2x > 2
∴ x > 1

【解不等式 ②】2(x + 1) ≤ x + 5
展开：2x + 2 ≤ x + 5
移项：2x - x ≤ 5 - 2
合并：x ≤ 3

【取交集】口诀「同大取大，同小取小，大小小大取中间」
① 给出 x > 1，② 给出 x ≤ 3
取交集：1 < x ≤ 3

【数轴表示】
    ○━━━━━●
    1         3
1 处空心（不含），3 处实心（含）

【整数解】
在 1 < x ≤ 3 范围内的整数为：x = 2 或 x = 3

【验算】
x = 2：① 6 - 1 = 5 > 2 + 1 = 3 ✓；② 2 × 3 = 6 ≤ 2 + 5 = 7 ✓
x = 3：① 9 - 1 = 8 > 3 + 1 = 4 ✓；② 2 × 4 = 8 ≤ 3 + 5 = 8 ✓
x = 1（边界外）：① 3 - 1 = 2 > 1 + 1 = 2？不成立（2 不大于 2）✓